《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

27. (5分)运用学过的知识,求证:$\sqrt{13}$是无理数.

答案： 假设$\sqrt {13}$是有理数,那么$\sqrt {13}$可以写成$\frac {m}{n}$(m,n是正整数,且没有大于1的公约数),即$\frac {m}{n}=\sqrt {13}$,所以$m^{2}=13n^{2}$,所以m是13的倍数.设$m=13p$(p是正整数),则$(13p)^{2}=13n^{2}$,所以$13p^{2}=n^{2}$,所以n也是13的倍数,这与m,n没有大于1的公约数相矛盾,所以假设不成立,所以$\sqrt {13}$是无理数.

28. (9分)(2025·江苏扬州期末)在计算器没有带开方功能的情况下,我们可以用下面的方法得到$\sqrt{n}$(n为正整数)的近似值$a_{k}$(k为正整数),并通过迭代逐渐减小$|a_{k}-\sqrt{n}|的值来提高a_{k}$的精确度.以求$\sqrt{7}$的近似值为例,迭代过程如下:
①先估计$\sqrt{7}的范围并确定迭代的初始值a_{1}$(因为$4＜7＜9$,所以$2＜\sqrt{7}＜3$.取$a_{1}= 2+\frac{3 - 2}{2}= 2.5$);
②通过计算$m_{k}= \frac{a_{k}^{2}-n}{2a_{k}}和a_{k + 1}= a_{k}-m_{k}得到精确度更高的近似值a_{k + 1}$.
请根据以上信息,完成下面的问题:(题中记$\sqrt{7}\approx2.6458$,以下结果要求写成小数形式)
(1)当$k = 1$时,$m_{1}= \frac{a_{1}^{2}-7}{2a_{1}}= $-0.15,$a_{2}= a_{1}-m_{1}= $2.65,$|a_{2}-\sqrt{7}|\approx$0.0042;
(2)当$k = 2$时,求$m_{2}$(结果精确到0.001),$a_{3}$,$|a_{3}-\sqrt{7}|$的值.
当$k=2$时,$m_{2}=\frac {a_{2}^{2}-7}{2a_{2}}=\frac {2.65^{2}-7}{2×2.65}\approx 0.004$,则$a_{3}=a_{2}-m_{2}\approx 2.65-0.004=2.646$,所以$|a_{3}-\sqrt {7}|\approx |2.646-2.6458|=0.0002$.

答案：
(1)-0.15 2.65 0.004 2
(2)当$k=2$时,$m_{2}=\frac {a_{2}^{2}-7}{2a_{2}}=\frac {2.65^{2}-7}{2×2.65}\approx 0.004$,则$a_{3}=a_{2}-m_{2}\approx 2.65-0.004=2.646$,所以$|a_{3}-\sqrt {7}|\approx |2.646-2.6458|=0.0002$.