《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

12. (18分)如图,在平面直角坐标系中,O是原点,直线$y= -\frac {3}{4}x+8$分别交x轴、y轴于点A,B,将正比例函数$y= 2x$的图象沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l,直线l分别交x轴、y轴于点C,D,交直线AB于点E.
(1) 直线l的函数表达式是$y = 2x - 3$,点E的坐标为(4,5);
(2) 若点F在直线AB上(不与点E重合),且$BF= BE$,求点F的坐标;
如图①,分别过点E,F作EM⊥y轴于点M,FN⊥y轴于点N,则$\angle EMB = \angle FNB = 90^{\circ}$。因为E(4,5),所以EM = 4。在$\triangle BNF$和$\triangle BME$中,$\begin{cases}\angle FNB = \angle EMB\\\angle FBN = \angle EBM\\BF = BE\end{cases}$,所以$\triangle BNF\cong\triangle BME(AAS)$,所以FN = EM = 4,所以点F的横坐标为 - 4。在$y = -\frac{3}{4}x + 8$中,令x = - 4,得$y = -\frac{3}{4}×( - 4) + 8 = 11$,所以点F的坐标为( - 4,11)。
(3) 在x轴上是否存在点P,使$∠PDO= 2∠PBO$? 若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
如图②,在y轴正半轴上取点Q,使OQ = OD = 3,连接PQ。当点P在x轴负半轴上时,因为OP⊥DQ,所以OP垂直平分DQ,所以PQ = PD,所以$\angle PDO = \angle PQD$。因为$\angle PDO = 2\angle PBO$,$\angle PQD = \angle PBO + \angle BPQ$,所以$2\angle PBO = \angle PBO + \angle BPQ$,所以$\angle PBO = \angle BPQ$,所以BQ = PQ。在$y = -\frac{3}{4}x + 8$中,令x = 0,得y = 8,所以B(0,8),所以OB = 8,所以PQ = BQ = OB - OQ = 5。因为$\angle POQ = 90^{\circ}$,所以$OP = \sqrt{PQ^{2} - OQ^{2}} = 4$,所以P( - 4,0)；当点P在x轴正半轴上时,同理可得P(4,0)。综上所述,存在满足题意的点P,且点P的坐标为( - 4,0)或(4,0)。

答案：
(1)$y = 2x - 3$ (4,5)
(2)如图①,分别过点E,F作EM⊥y轴于点M,FN⊥y轴于点N,则$\angle EMB = \angle FNB = 90^{\circ}$。因为E(4,5),所以EM = 4。在$\triangle BNF$和$\triangle BME$中,$\begin{cases}\angle FNB = \angle EMB\\\angle FBN = \angle EBM\\BF = BE\end{cases}$,所以$\triangle BNF\cong\triangle BME(AAS)$,所以FN = EM = 4,所以点F的横坐标为 - 4。在$y = -\frac{3}{4}x + 8$中,令x = - 4,得$y = -\frac{3}{4}×( - 4) + 8 = 11$,所以点F的坐标为( - 4,11)。
(3)如图②,在y轴正半轴上取点Q,使OQ = OD = 3,连接PQ。当点P在x轴负半轴上时,因为OP⊥DQ,所以OP垂直平分DQ,所以PQ = PD,所以$\angle PDO = \angle PQD$。因为$\angle PDO = 2\angle PBO$,$\angle PQD = \angle PBO + \angle BPQ$,所以$2\angle PBO = \angle PBO + \angle BPQ$,所以$\angle PBO = \angle BPQ$,所以BQ = PQ。在$y = -\frac{3}{4}x + 8$中,令x = 0,得y = 8,所以B(0,8),所以OB = 8,所以PQ = BQ = OB - OQ = 5。因为$\angle POQ = 90^{\circ}$,所以$OP = \sqrt{PQ^{2} - OQ^{2}} = 4$,所以P( - 4,0)；当点P在x轴正半轴上时,同理可得P(4,0)。综上所述,存在满足题意的点P,且点P的坐标为( - 4,0)或(4,0)。

13. (18分)(2025·江苏宿迁期末)如图①,在平面直角坐标系中,O是原点,直线$y= 2x+b经过点A(-1,-4),B(m,8)$,它与y轴交于点G,P是线段AB上的一个动点.
(1) $b=$-2,$m=$5,点G的坐标为(0,-2);
(2) 若点P关于坐标轴的对称点Q落在直线$y= -\frac {1}{2}x-\frac {5}{2}$上,求点P的坐标;
因为点P在线段AB上,所以可设点P的坐标为(a,2a - 2)( - 1 ≤ a ≤ 5)。若点P关于x轴的对称点Q(a,2 - 2a)落在直线$y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$上,则$-\frac{1}{2}a - \frac{5}{2} = 2 - 2a$,解得a = 3,则2a - 2 = 4,所以P(3,4)；若点P关于y轴的对称点Q( - a,2a - 2)落在直线$y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$上,则$-\frac{1}{2}×( - a) - \frac{5}{2} = 2a - 2$,解得$a = -\frac{1}{3}$,则$2a - 2 = -\frac{8}{3}$,所以$P(-\frac{1}{3},-\frac{8}{3})$。综上所述,点P的坐标为(3,4)或$(-\frac{1}{3},-\frac{8}{3})$。
(3) 过点P作y轴的平行线PE,过点G作x轴的平行线GE,它们相交于点E,将$△PGE$沿直线PG翻折,点E的对应点为$E'$.
① 如图②,当点$E'$落在x轴上时,求点P的坐标;
设直线AB与x轴交于点C,P(n,2n - 2)。由题意,得0 ＜ n ≤ 5。因为PE//y轴,GE//x轴,所以GE = n,$\angle E'CG = \angle EGC$。由折叠的性质,得$GE' = GE = n$,$\angle E'GC = \angle EGC$,所以$\angle E'CG = \angle E'GC$,所以$CE' = GE' = n$。在$y = 2x - 2$中,令y=0，得2x - 2=0，解得x=1，所以点C的坐标为(1,0)，则OC=1，所以OE'=|CE' - OC|=|n - 1|。因为点E'在x轴上，所以点E'的坐标为(n - 1,0)或(1 - n,0)。又因为点E的坐标为(n,-2)，根据折叠的性质，PG垂直平分EE'，所以线段EE'的中点$(\frac{n + (n - 1)}{2},\frac{-2 + 0}{2})$或$(\frac{n + (1 - n)}{2},\frac{-2 + 0}{2})$在直线PG上。直线PG的解析式为$y = \frac{2n - 2 - (-2)}{n - 0}x - 2 = 2x - 2$。当点E'的坐标为(n - 1,0)时，中点坐标为$(\frac{2n - 1}{2}, - 1)$，代入直线PG的解析式得$2×\frac{2n - 1}{2} - 2 = - 1$，解得n=1，此时点P的坐标为(1,0)；当点E'的坐标为(1 - n,0)时，中点坐标为$(\frac{1}{2}, - 1)$，代入直线PG的解析式得$2×\frac{1}{2} - 2 = - 1$，等式恒成立，又因为GE = n，GE' = n，OE' = 1 - n，在Rt△GOE'中，$GO^2 + OE'^2 = GE'^2$，即$(-2)^2 + (1 - n)^2 = n^2$，解得n=$\frac{5}{2}$，此时点P的坐标为$(\frac{5}{2},3)$。综上所述，点P的坐标为(1,0)或$(\frac{5}{2},3)$。
② 在点P从点A运动到点B的过程中,点$E'$也随之运动,则点$E'$运动的路径长为12.

答案：
(1) - 2 5 (0, - 2)
(2)因为点P在线段AB上,所以可设点P的坐标为(a,2a - 2)( - 1 ≤ a ≤ 5)。若点P关于x轴的对称点Q(a,2 - 2a)落在直线$y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$上,则$-\frac{1}{2}a - \frac{5}{2} = 2 - 2a$,解得a = 3,则2a - 2 = 4,所以P(3,4)；若点P关于y轴的对称点Q( - a,2a - 2，)落在直线$y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$上,则$-\frac{1}{2}×( - a) - \frac{5}{2} = 2a - 2$,解得$a = -\frac{1}{3}$,则$2a - 2 = -\frac{8}{3}$,所以$P(-\frac{1}{3},-\frac{8}{3})$。综上所述,点P的坐标为(3,4)或$(-\frac{1}{3},-\frac{8}{3})$。
(3)①设直线AB与x轴交于点C,P(n,2n - 2)。由题意,得0 ＜ n ≤ 5。因为PE//y轴,GE//x轴,所以GE = n,$\angle E'CG = \angle EGC$。由折叠的性质,得$GE' = GE = n$,$\angle E'GC = \angle EGC$,所以$\angle E'CG = \angle E'GC$,所以$CE' = GE' = n$。在$y = 2x - 2$中,令