《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

27. (10分)如图,直线$l:y= kx+6与x$轴、$y轴分别交于点A$,$B$,点$C(-8,0)$,连接$BC$.
(1)点$B$的坐标为$(0,6)$;
(2)点$D的坐标为(0,2)$,作射线$CD$,交直线$l于点E$.
①当$\frac{S_{\triangle CBE}}{S_{\triangle CAE}}= \frac{3}{2}$时,求$k$的值;
②当直线$l与射线CD所夹的锐角为45^{\circ}$时,求$OA$的长.


（2）① 过点$E$作$EF\perp x$轴于点$F$.因为$\frac{S_{\triangle CBE}}{S_{\triangle CAE}}=\frac{3}{2}$,所以$\frac{S_{\triangle CAE}}{S_{\triangle CAB}}=\frac{2}{5}$,所以$\frac{\frac{1}{2}CA\cdot EF}{\frac{1}{2}CA\cdot OB}=\frac{2}{5}$,所以$\frac{EF}{OB}=\frac{2}{5}$.因为$B(0,6)$,所以$OB=6$,所以$EF=\frac{12}{5}$.设直线$CE$的函数表达式为$y=mx+n$.把点$C(-8,0)$,$D(0,2)$分别代入$y=mx+n$,得$\begin{cases}-8m+n=0,\\n=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\frac{1}{4},\\n=2,\end{cases}$所以直线$CE$的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x+2$.在$y=\frac{1}{4}x+2$中,令$y=\frac{12}{5}$,得$\frac{1}{4}x+2=\frac{12}{5}$,解得$x=\frac{8}{5}$,所以$E\left(\frac{8}{5},\frac{12}{5}\right)$.把点$E\left(\frac{8}{5},\frac{12}{5}\right)$代入$y=kx+6$,得$\frac{8}{5}k+6=\frac{12}{5}$,解得$k=-\frac{9}{4}$.
② 设$E\left(a,\frac{1}{4}a+2\right)$.分类讨论如下:当点$A$在$x$轴正半轴上时,过点$B$作$BG\perp BE$交$CD$于点$G$,分别过点$E$,$G$作$EM\perp y$轴于点$M$,$GN\perp y$轴于点$N$,则$EM=a$,$OM=\frac{1}{4}a+2$,$\angle EBG=\angle BNG=\angle EMB=90^{\circ}$,所以$\angle GBN+\angle EBM=\angle GBN+\angle BGN=90^{\circ}$,所以$\angle BGN=\angle EBM$.因为$\angle BEG=45^{\circ}$,所以$\angle BGE=90^{\circ}-\angle BEG=45^{\circ}$,所以$\angle BEG=\angle BGE$,所以$BG=EB$.因为$OB=6$,所以$BM=OB-OM=4-\frac{1}{4}a$.在$\triangle BGN$和$\triangle EBM$中,$\begin{cases}\angle BNG=\angle EMB,\\\angle BGN=\angle EBM,\\BG=EB,\end{cases}$所以$\triangle BGN\cong\triangle EBM(\text{AAS})$,所以$BN=EM=a$,$GN=BM=4-\frac{1}{4}a$,所以$ON=OB-BN=6-a$,所以$G\left(\frac{1}{4}a-4,6-a\right)$.把点$G\left(\frac{1}{4}a-4,6-a\right)$代入$y=\frac{1}{4}x+2$,得$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}a-4\right)+2=6-a$,解得$a=\frac{80}{17}$,则$\frac{1}{4}a+2=\frac{54}{17}$,所以$E\left(\frac{80}{17},\frac{54}{17}\right)$.把点$E\left(\frac{80}{17},\frac{54}{17}\right)$代入$y=kx+6$,得$\frac{80}{17}k+6=\frac{54}{17}$,解得$k=-\frac{3}{5}$,所以直线$AB$的函数表达式为$y=-\frac{3}{5}x+6$.在$y=-\frac{3}{5}x+6$中,令$y=0$,得$-\frac{3}{5}x+6=0$,解得$x=10$,所以$A(10,0)$,所以$OA=10$;当点$A$在$x$轴负半轴上时,点$E$与点$G$重合,即$E\left(-\frac{48}{17},\frac{22}{17}\right)$,同理可得$OA=\frac{18}{5}$.综上所述,$OA$的长为$10$或$\frac{18}{5}$.

答案： （1）$(0,6)$
（2）① 过点$E$作$EF\perp x$轴于点$F$.因为$\frac{S_{\triangle CBE}}{S_{\triangle CAE}}=\frac{3}{2}$,所以$\frac{S_{\triangle CAE}}{S_{\triangle CAB}}=\frac{2}{5}$,所以$\frac{\frac{1}{2}CA\cdot EF}{\frac{1}{2}CA\cdot OB}=\frac{2}{5}$,所以$\frac{EF}{OB}=\frac{2}{5}$.因为$B(0,6)$,所以$OB=6$,所以$EF=\frac{12}{5}$.设直线$CE$的函数表达式为$y=mx+n$.把点$C(-8,0)$,$D(0,2)$分别代入$y=mx+n$,得$\begin{cases}-8m+n=0,\\n=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\frac{1}{4},\\n=2,\end{cases}$所以直线$CE$的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x+2$.在$y=\frac{1}{4}x+2$中,令$y=\frac{12}{5}$,得$\frac{1}{4}x+2=\frac{12}{5}$,解得$x=\frac{8}{5}$,所以$E\left(\frac{8}{5},\frac{12}{5}\right)$.把点$E\left(\frac{8}{5},\frac{12}{5}\right)$代入$y=kx+6$,得$\frac{8}{5}k+6=\frac{12}{5}$,解得$k=-\frac{9}{4}$.
② 设$E\left(a,\frac{1}{4}a+2\right)$.分类讨论如下:当点$A$在$x$轴正半轴上时,过点$B$作$BG\perp BE$交$CD$于点$G$,分别过点$E$,$G$作$EM\perp y$轴于点$M$,$GN\perp y$轴于点$N$,则$EM=a$,$OM=\frac{1}{4}a+2$,$\angle EBG=\angle BNG=\angle EMB=90^{\circ}$,所以$\angle GBN+\angle EBM=\angle GBN+\angle BGN=90^{\circ}$,所以$\angle BGN=\angle EBM$.因为$\angle BEG=45^{\circ}$,所以$\angle BGE=90^{\circ}-\angle BEG=45^{\circ}$,所以$\angle BEG=\angle BGE$,所以$BG=EB$.因为$OB=6$,所以$BM=OB-OM=4-\frac{1}{4}a$.在$\triangle BGN$和$\triangle EBM$中,$\begin{cases}\angle BNG=\angle EMB,\\\angle BGN=\angle EBM,\\BG=EB,\end{cases}$所以$\triangle BGN\cong\triangle EBM(\text{AAS})$,所以$BN=EM=a$,$GN=BM=4-\frac{1}{4}a$,所以$ON=OB-BN=6-a$,所以$G\left(\frac{1}{4}a-4,6-a\right)$.把点$G\left(\frac{1}{4}a-4,6-a\right)$代入$y=\frac{1}{4}x+2$,得$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}a-4\right)+2=6-a$,解得$a=\frac{80}{17}$,则$\frac{1}{4}a+2=\frac{54}{17}$,所以$E\left(\frac{80}{17},\frac{54}{17}\right)$.把点$E\left(\frac{80}{17},\frac{54}{17}\right)$代入$y=kx+6$,得$\frac{80}{17}k+6=\frac{54}{17}$,解得$k=-\frac{3}{5}$,所以直线$AB$的函数表达式为$y=-\frac{3}{5}x+6$.在$y=-\frac{3}{5}x+6$中,令$y=0$,得$-\frac{3}{5}x+6=0$,解得$x=10$,所以$A(10,0)$,所以$OA=10$;当点$A$在$x$轴负半轴上时,点$E$与点$G$重合,即$E\left(-\frac{48}{17},\frac{22}{17}\right)$,同理可得$OA=\frac{18}{5}$.综上所述,$OA$的长为$10$或$\frac{18}{5}$.