《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

26. (10 分)在$△ABC$中,$AB = AC$,$∠ABC = α$,$D是边BC$上一动点,过点$D作直线l // AB$,点$E与点C关于直线l$对称,连接$BE$,$DE$.
(1) 如图①,连接$CE$.若$BC = 4$,$α = 30^{\circ}$,
① 求证:$△CED$是等边三角形;
② $BE$长的最小值为$\sqrt{12}$;
(2) 如图②,取$BE的中点F$,连接$AF$,$DF$.求证:$AF ⊥ DF$.

答案：
(1)①设直线l交CE于点M.因为$l// AB$,所以$∠CDM=∠ABC=α=30^{\circ }$.因为点E与点C关于直线l对称,所以$ED=CD$,$∠EDM=∠CDM=30^{\circ }$,所以$∠CDE=∠CDM+∠EDM=60^{\circ }$,所以$\triangle CED$是等边三角形. ②$\sqrt {12}$ 解析:因为$\triangle CED$是等边三角形,所以$∠DCE=60^{\circ }$,所以当$BE⊥CE$时,BE的长取最小值,此时$∠CEB=90^{\circ }$,所以$∠CBE=90^{\circ }-∠DCE=30^{\circ }$,所以$CE=\frac {1}{2}BC$.因为$BC=4$,所以$CE=2$,所以$BE=\sqrt {BC^{2}-CE^{2}}=\sqrt {12}$.故BE长的最小值为$\sqrt {12}$.
(2)连接AD,将$\triangle ACD$绕点A逆时针旋转,使AC与AB重合,得$\triangle ABG$,连接FG,则$AG=AD$,$BG=CD$,$∠ABG=∠C$.因为$AB=AC$,所以$∠ABG=∠C=∠ABC=α$,所以$∠GBD=∠ABC+∠ABG=2α$.因为$ED=CD$,$∠CDE=2α$,所以$ED=BG$,$∠CDE=∠GBD$,所以$ED// BG$,所以$∠E=∠GBF$.因为F为BE的中点,所以$EF=BF$.在$\triangle EDF$和$\triangle BGF$中,$\left\{\begin{array}{l} ED=BG,\\ ∠E=∠GBF,\\ EF=BF,\end{array}\right. $所以$\triangle EDF\cong \triangle BGF(SAS)$,所以$∠DFE=∠GFB$,$DF=GF$,所以点D,F,G共线,所以$AF⊥DF$.