《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

6. 亮点原创 如图,小亮将等腰三角形ABC沿底边上的高线向下平移2次,每次平移相同的长度,得到“一棵树”.已知$AB= 32cm,AC= 20cm$,下方树干$DE= 8cm$.若树的高度$CE= 36cm$,则$△ABC$每次平移的长度为8cm.

答案： 8

7. (2024·陕西)如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作$BF// AC$,且$BF= AE$,连接CF.若$AC= 13,BC= 10$,则四边形EBFC的面积为______60.

答案： 60

8. 如图,点A,B在x轴上,点C在y轴的正半轴上,且$AC= BC= \sqrt {5},OC= 1$,P为线段AB上一点(不含端点),则$PC^{2}+PA\cdot PB$的值为______5.

答案： 5

9. 四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形ABCD,过每个直角三角形较长直角边的中点作垂线,围成面积为m的小正方形EFGH.已知AM为$Rt△ABM$的较长直角边,$AM= 4EF$,则正方形ABCD的面积为______.(用含m的代数式表示)

17m

答案： 17m 解析:设AM=a,BM=b.因为∠AMB=90°,所以$S_{正方形ABCD}=AB^2=AM^2+BM^2=a^2+b^2$.由题意,得EF=a-b-2($\frac{1}{2}a$-b)=b,所以$S_{正方形EFGH}=EF^2=b^2$.又$S_{正方形EFGH}=m$,所以$b^2=m$.因为AM=4EF,所以a=4b,所以$S_{正方形ABCD}=17b^2=17m$.故正方形ABCD的面积为17m.

10. (2025·江苏泰州期末)如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠A= 30^{\circ }$.若$AC= 2$,D是边AB上的动点,则$CD+\frac {1}{2}AD$的最小值为______.

答案：
$\sqrt{3}$ 解析:如图,在直线AB下方作∠BAG=30°,过点D作DE⊥AG于点E,过点C作CF⊥AG于点F,则∠AED=∠AFC=90°,DE=$\frac{1}{2}AD$,所以CD+$\frac{1}{2}AD$=CD+DE.结合图形可知,当E,F两点重合时,CD+$\frac{1}{2}AD$=CD+DE取最小值,且最小值即为CF的长.因为∠BAC=30°,所以∠CAF=∠BAG+∠BAC=60°,所以∠ACF=90°-∠CAF=30°,所以AF=$\frac{1}{2}AC$.因为AC=2,所以AF=1,所以CF=$\sqrt{AC^2-AF^2}=\sqrt{3}$,所以CD+$\frac{1}{2}AD$的最小值为$\sqrt{3}$.

11. (16分)新素养 几何直观如图,学校A与公路l之间的距离$AE= 3km$,与该公路边的车站D之间的距离$AD= 5km$,现要在公路边建一个商店C,使之到学校A及车站D的距离相等.
(1) 在图中作出商店C的位置;(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2) 求商店C与车站D之间的距离CD.

答案： （1）作线段AD的垂直平分线交直线l于点C,则点C即为所求.图略.
（2）连接AC.设AC=CD=x km.因为∠AED=90°,AE=3 km,AD=5 km,所以DE=$\sqrt{AD^2-AE^2}=4$ km,所以CE=DE-CD=(4-x)km.因为AE²+CE²=AC²,所以$3^2+(4-x)^2=x^2$,解得x=$\frac{25}{8}$,即商店C与车站D之间的距离CD为$\frac{25}{8}$km.