《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

24. (8 分)用两种方法证明“垂线段最短”.
如图,点$P在直线l$外,$PA ⊥ l$,垂足为$A$,$Q为直线l上不同于点A$的任意一点.求证:$PA ＜ PQ$.
(1) 小明的操作如下:如图①,延长$PA至点B$,使得$AB = PA$,连接$BQ$,…请接着小明的操作完成证明;
(2) 小芳发现还可以通过“勾股定理”来证明,请结合图②完成.

答案：
(1)如题图①,延长PA至点B,使得$AB=PA$,则$PB=2PA$.因为$PA⊥l$,所以l垂直平分PB,所以$BQ=PQ$.因为$PB＜BQ+PQ$,所以$2PA＜2PQ$,所以$PA＜PQ$.
(2)因为$PA⊥l$,所以$∠PAQ=90^{\circ }$,所以$AQ^{2}=PQ^{2}-PA^{2}$.因为$AQ^{2}＞0$,所以$PQ^{2}-PA^{2}＞0$,所以$PQ＞PA$,即$PA＜PQ$.

25. (8 分)新素养 抽象能力
【新定义】
一次函数$y = kx + b与一次函数y = -kx - b$称为一对和谐函数.例如:$y = 2x + 1与y = -2x - 1$就是一对和谐函数.
【特殊化】
请以$y = 2x + 1与y = -2x - 1$这对和谐函数为例,完成以下两条结论:
(1) 这对和谐函数图象的交点坐标是$(-\frac {1}{2},0)$;
(2) 判断这对和谐函数的图象是否关于$x$轴对称:是;(填“是”或“否”)
【一般化】
(3) 一般情况下,一对和谐函数$y = kx + b与y = -kx - b的图象是否关于x$轴对称? 请说明理由.
一般情况下,一对和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$的图象关于x轴对称.理由如下:设$(m,km+b)$为一次函数$y=kx+b$图象上的任意一点.在$y=-kx-b$中,令$x=m$,得$y=-(km+b)$,所以点$(m,-(km+b))$在一次函数$y=-kx-b$的图象上.因为点$(m,km+b)$与点$(m,-(km+b))$关于x轴对称,所以一对和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$的图象关于x轴对称.

答案：
(1)$(-\frac {1}{2},0)$
(2)是
(3)一般情况下,一对和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$的图象关于x轴对称.理由如下:设$(m,km+b)$为一次函数$y=kx+b$图象上的任意一点.在$y=-kx-b$中,令$x=m$,得$y=-(km+b)$,所以点$(m,-(km+b))$在一次函数$y=-kx-b$的图象上.因为点$(m,km+b)$与点$(m,-(km+b))$关于x轴对称,所以一对和谐函数$y=kx+b$与$y=-kx-b$的图象关于x轴对称.