《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

25. (9分)已知线段$AC$,以$AC为斜边作Rt\triangle ABC和Rt\triangle ADC$,连接$BD$,$M$,$N分别是AC$,$BD$的中点,连接$MN$,$MB$.
(1)如图①,$Rt\triangle ABC和Rt\triangle ADC在线段AC$的两侧.
①求证:$MN\perp BD$;
②若$\angle BAC= 45^{\circ}$,$\angle DAC= 28^{\circ}$,请求出$\angle BMN$的度数;
(2)如图②,$Rt\triangle ABC和Rt\triangle ADC在线段AC$的同侧.若$\angle BAC= \alpha$,$\angle DAC= \beta(\alpha＞\beta)$,则$\angle BMN$的度数为$\alpha-\beta$.(用含$\alpha$,$\beta$的代数式表示)

答案： （1）① 连接$DM$.因为$\triangle ABC$和$\triangle ADC$都是直角三角形,$M$是斜边$AC$的中点,所以$BM=DM=\frac{1}{2}AC$.因为$N$是$BD$的中点,所以$MN\perp BD$.
② 因为$BM=DM=AM$,所以$\angle ABM=\angle BAC=45^{\circ}$,$\angle ADM=\angle DAC=28^{\circ}$,所以$\angle BMC=\angle BAC+\angle ABM=90^{\circ}$,$\angle DMC=\angle DAC+\angle ADM=56^{\circ}$,所以$\angle BMD=\angle BMC+\angle DMC=146^{\circ}$,所以$\angle BMN=\frac{1}{2}\angle BMD=73^{\circ}$.
（2）$\alpha-\beta$

26. (10分)新素养 创新意识 利用杆秤称重物时,移动秤砣可使杆秤平衡,根据杠杆原理推导得等式:$(m_0+x)\cdot l= M\cdot(a+y)$,其中秤盘质量为$m_0\mathrm{g}$,重物质量为$x\mathrm{g}$,秤砣质量为$M\mathrm{g}$,秤纽与秤盘之间的水平距离为$l\mathrm{cm}$,秤纽与零刻线之间的水平距离为$a\mathrm{cm}$,秤砣与零刻线之间的水平距离为$y\mathrm{cm}$.如图,秤盘与零刻度线之间的距离$AC= 3\mathrm{cm}$,零刻线与末刻线之间的距离$CD= 50\mathrm{cm}$,秤盘质量$m_0= 10\mathrm{g}$,秤砣质量$M= 50\mathrm{g}$.某兴趣小组利用等式$(m_0+x)\cdot l= M\cdot(a+y)$制作简易杆秤.
(1)确定秤纽的位置:当秤盘不放重物且秤砣在零刻线时,杆秤平衡,请求出$l$,$a$的值;
由题意,得$\begin{cases}a+l=3,\\10l=50a,\end{cases}$解得$\begin{cases}l=2.5,\\a=0.5.\end{cases}$
(2)确定杆秤的最大称重质量:根据(1)中$l$,$a$的值,求$y关于x$的函数表达式,并求杆秤的最大称重质量;(秤砣移至末刻线$D$处,秤得的物体质量)
由题意,得$2.5(10+x)=50(0.5+y)$,所以$y=\frac{1}{20}x$.在$y=\frac{1}{20}x$中,令$y=50$,得$\frac{1}{20}x=50$,解得$x=1000$.故$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{1}{20}x$,杆秤的最大称重质量为$1000\ \text{g}$.
(3)制作杆秤的刻度:将零刻线开始至末刻线之间的线段$CD$平均分成10份(格),标注刻度值,则点$E$处应标注的刻度值为____g;
600
(4)该小组成员利用制作好的杆秤称重物时,误用了60g的秤砣进行称重,称得重物的质量为500g,则该重物的实际质量为____g.
602

答案： （1）由题意,得$\begin{cases}a+l=3,\\10l=50a,\end{cases}$解得$\begin{cases}l=2.5,\\a=0.5.\end{cases}$
（2）由题意,得$2.5(10+x)=50(0.5+y)$,所以$y=\frac{1}{20}x$.在$y=\frac{1}{20}x$中,令$y=50$,得$\frac{1}{20}x=50$,解得$x=1000$.故$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{1}{20}x$,杆秤的最大称重质量为$1000\ \text{g}$.
（3）600（4）602