《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

7. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$AB = 13$,$AC = 5$,动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以每秒 2 个单位长度的速度运动.设运动的时间为 t s,则当$\triangle APB$为等腰三角形时,t 的值为 (C)
A.$\frac{169}{48}或\frac{13}{2}$
B.$\frac{13}{2}$或 12 或 4
C.$\frac{13}{2}$或 12 或$\frac{169}{48}$
D.$\frac{169}{48}$或 12 或 4

答案： C　解析:由题意,得BP=2t.因为∠ACB=90°,AB=13,AC=5,所以BC=√(AB² - AC²)=12.当△APB为等腰三角形时，分类讨论如下:①若BP=AB,则2t=13,解得t=13/2;②若AP=AB,则BP=2BC=24,所以2t=24,解得t=12;③若AP=BP=2t,则CP=BC - BP=12 - 2t.因为AC²+CP²=AP²,所以5²+(12 - 2t)²=(2t)²,解得t=169/48.综上所述，t的值为13/2或12或169/48.

8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按如图②所示的方式放置在最大的正方形内.若知道图②中阴影部分的面积,则一定能求出 (C)

A.直角三角形的面积
B.最大正方形的面积
C.较小的两个正方形重叠部分的面积
D.最大的正方形与直角三角形的面积和

答案： C　解析:设题图①中直角三角形的两直角边长分别为a,b(a＞b),斜边长为c,则a²+b²=c².题图②中阴影部分的面积可表示为c² - a² - b(c - a)=b² - bc + ab=b(a + b - c),较小的两个正方形重叠部分的面积可表示为b[a - (c - b)]=b(a + b - c),所以较小的两个正方形重叠部分的面积等于阴影部分的面积.

9. 若直角三角形的一条直角边长与斜边长分别为 6 cm 和 10 cm,则该直角三角形斜边上的中线长为5cm,斜边上的高为4.8cm.

答案： 5　4.8

10. 在$\triangle ABC$中,已知 a,b,c 分别为$∠A$,$∠B$,$∠C$所对边的长.若$a^{2} + b^{2} = 25$,$a^{2} - b^{2} = 7$,$c = 5$,则$\triangle ABC$最长边上的高为______2.4.

答案： 2.4

11. (2023·江苏南通)勾股数是指能成为直角三角形三边长的三个正整数,世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数 a,b,c,其中 a,b 均小于 c,且$a = \frac{1}{2}m^{2} - \frac{1}{2}$,$c = \frac{1}{2}m^{2} + \frac{1}{2}$(m 是大于 1 的奇数),则$b = $m.(用含 m 的代数式表示)

答案： m

12. 如图,$CB⊥AD$,$AE⊥CD$,垂足分别为 B,E,AE,CB 相交于点 F,$AB = CB$.若$AB = 8$,$CF = 2$,则$CD = $10.

答案： 10

13. 新趋势 情境素材 如图,某港口 P 位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙轮船每小时分别航行 12 海里和 16 海里,1 h 后两船分别位于点 A,B 处,且相距 20 海里.若知道甲船沿北偏西$40^{\circ}$方向航行,则乙船沿北偏东50°方向航行.

答案： 北偏东50°

14. (2025·江苏常州模拟)如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC$,$∠ACB$的平分线相交于点 O,$OD⊥BC$于点 D.若$AB = 25$cm,$BC = 20$cm,$AC = 15$cm,则$OD = $5cm.

答案： 5

15. 如图,$AB⊥BC$,$AB⊥AD$,E 是 CD 的中点.若$BC = 5$,$AD = 10$,$BE = \frac{13}{2}$,则$AB = $12.

答案： 12