《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

25. (8分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,且$AC⊥BD$,作$BF⊥CD$,垂足为F,BF与AC相交于点G,$∠BGE= ∠ADE$.
(1) 求证:$AD= CD$;
(2) 若BH是$\triangle ABE$的中线,$AE= 2DE,DE= EG$,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中的四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于$\triangle ADE$面积的2倍.

答案：
(1)因为∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF,所以∠ADE=∠CGF.因为 AC⊥BD,BF⊥CD,所以∠AED=∠CFG=90°,所以∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF=90°,所以∠DAE=∠GCF,所以AD=CD.
(2)△ACD,△ABE,△BCE,△BHG.

26. (8分)如图,$AB= AC,AD// BC$.
(1) 用无刻度的直尺和圆规作图:在射线AD上找一点E,连接BE,使得$∠AEB= \frac {1}{2}∠C$;(保留作图痕迹,不写作法)
(2) 在(1)的条件下,若$∠BAC= 60^{\circ }$,试判断AC与BE之间的位置关系,并说明理由.

答案：
(1)(答案不唯一)以点 A 为圆心,AB 为半径作弧,交射线 AD 于点 E,连接 BE,则$∠AEB=\frac{1}{2}∠C$.图略.
(2)AC⊥BE.理由如下:设 AC 与 BE 相交于点 O.因为 AB=AC,∠BAC=60°,所以$∠ABC=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=60°$,所以$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC=30°$,所以∠AOB=180°-∠BAC-∠ABE=90°,所以 AC⊥BE.

27. (8分)新素养创新意识【阅读】规定:如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角相等,那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
从三角形(非等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原来三角形互为“等角三角形”,那么这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”.
(1)【理解】如图①,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },CD⊥AB$于D,请写出图中两对“等角三角形”:△ABC 与△ACD,△ABC 与△CBD;
(2)【尝试】如图②,在$\triangle ABC$中,CD平分$∠ACB$交AB于点D,$∠A= 60^{\circ },∠B= 40^{\circ }$.求证:CD为$\triangle ABC$的“等角分割线”;
因为∠A=60°,∠B=40°,所以∠ACB=180°-∠A-∠B=80°.因为 CD 平分∠ACB,所以$∠ACD=∠BCD=\frac{1}{2}∠ACB=40°$,所以∠BCD=∠B,所以△BCD 为等腰三角形.因为∠A=∠A,∠ACD=∠B,∠ADC=180°-∠A-∠ACD=80°=∠ACB,所以△ACD 与△ABC 互为“等角三角形”,所以CD 为△ABC 的“等角分割线”.
(3)【应用】在$\triangle ABC$中,$∠A= 48^{\circ }$,CD是$\triangle ABC$的“等角分割线”,请直接写出$∠ABC$的度数.
∠ABC 的度数为 18°或 28°或 36°或 44°.

答案：
(1)(答案不唯一)△ABC 与△ACD △ABC 与△CBD
(2)因为∠A=60°,∠B=40°,所以∠ACB=180°-∠A-∠B=80°.因为 CD 平分∠ACB,所以$∠ACD=∠BCD=\frac{1}{2}∠ACB=40°$,所以∠BCD=∠B,所以△BCD 为等腰三角形.因为∠A=∠A,∠ACD=∠B,∠ADC=180°-∠A-∠ACD=80°=∠ACB,所以△ACD 与△ABC 互为“等角三角形”,所以CD 为△ABC 的“等角分割线”.
(3)∠ABC 的度数为 18°或 28°或 36°或 44°.