《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

9. 已知函数$y= 2x^{2a+b}+a+2b$是正比例函数,则$a+b= $$\frac{1}{3}$.

答案： 解：因为函数$y = 2x^{2a + b} + a + 2b$是正比例函数，所以可得：
$\begin{cases}2a + b = 1 \\ a + 2b = 0\end{cases}$
将第一个方程乘以$2$得：$4a + 2b = 2$
用此方程减去第二个方程：$(4a + 2b) - (a + 2b) = 2 - 0$
即$3a = 2$，解得$a = \frac{2}{3}$
将$a = \frac{2}{3}$代入$a + 2b = 0$，得$\frac{2}{3} + 2b = 0$，解得$b = -\frac{1}{3}$
所以$a + b = \frac{2}{3} + (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}$

10. 如图,在平面直角坐标系中,O是原点,一次函数$y= kx+b的图象是由正比例函数y= 2x$的图象向下平移若干个单位长度得到的,且经过点$A(1,-2)$,则$kb= $______.


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答案： 解：因为一次函数$y=kx+b$的图象由正比例函数$y=2x$的图象向下平移若干个单位长度得到，所以$k=2$。
又因为函数$y=2x+b$经过点$A(1,-2)$，所以将$x=1$，$y=-2$代入$y=2x+b$，得$-2=2×1 + b$，解得$b=-4$。
则$kb=2×(-4)=-8$。
$-8$

11. 亮点原创 已知函数$y= \sqrt {|x-2025|+|x+2024|-m}$的自变量x的取值范围为全体实数,则m的取值范围为$m \leq 4049$.

答案： 解：要使函数$y= \sqrt {|x-2025|+|x+2024|-m}$的自变量$x$的取值范围为全体实数，
则被开方数$|x - 2025| + |x + 2024| - m \geq 0$对任意实数$x$恒成立，
即$m \leq |x - 2025| + |x + 2024|$对任意实数$x$恒成立。
$|x - 2025| + |x + 2024| = |x - 2025| + |x - (-2024)|$，
其几何意义为数轴上点$x$到点$2025$和点$-2024$的距离之和。
当点$x$在点$-2024$和点$2025$之间（包括端点）时，距离之和最小，
最小值为$2025 - (-2024) = 4049$。
所以$|x - 2025| + |x + 2024|$的最小值为$4049$，
则$m \leq 4049$。
故$m$的取值范围为$m \leq 4049$。

12. 如图,在平面直角坐标系中,O是原点,直线$AB:y= -\frac {1}{2}x+3$交y轴于点A,交x轴于点B,过点$E(2,0)$作x轴的垂线EF交AB于点D,P是垂线EF上一点(点P在点D上方),且$S_{△ADP}= 2$,以PB为边在第一象限内作等腰直角三角形BPC,则点C的坐标为$(6,8)$，$(10,4)$，$(4,6)$.

答案： 解：
1. 求点A、B坐标：
直线$AB:y=-\frac{1}{2}x+3$，令$x=0$得$A(0,3)$；令$y=0$得$B(6,0)$。
2. 求点D坐标：
EF⊥x轴于$E(2,0)$，故$D$横坐标为2，代入$AB$方程得$y=-\frac{1}{2}×2+3=2$，即$D(2,2)$。
3. 求点P坐标：
设$P(2,t)(t＞2)$，$S_{\triangle ADP}=2$。$AD$在直线$AB$上，$DP=t-2$，$EF$与y轴距离为2（即$\triangle ADP$的高）。
$S_{\triangle ADP}=\frac{1}{2}× DP×2=DP=2$，故$t-2=2\Rightarrow t=4$，即$P(2,4)$。
4. 求点C坐标（等腰直角三角形BPC，$P(2,4)$，$B(6,0)$）：
情况1：BP为直角边，$BP=BC$，$\angle PBC=90^\circ$
$k_{BP}=\frac{0-4}{6-2}=-1$，则$k_{BC}=1$（垂直斜率积为-1）。
$BP=\sqrt{(6-2)^2+(0-4)^2}=4\sqrt{2}$，故$BC=4\sqrt{2}$。
直线$BC:y=x-6$（过$B(6,0)$，斜率1），设$C(m,m-6)$，则$\sqrt{(m-6)^2+(m-6)^2}=4\sqrt{2}$，解得$m=10$或$m=2$（舍，不在第一象限），即$C(10,4)$。
情况2：BP为直角边，$BP=PC$，$\angle BPC=90^\circ$
设$C(a,b)$，$\overrightarrow{PB}=(4,-4)$，$\overrightarrow{PC}=(a-2,b-4)$。
$\overrightarrow{PB}\perp\overrightarrow{PC}\Rightarrow4(a-2)-4(b-4)=0\Rightarrow a-b=-2$；
$|\overrightarrow{PB}|=|\overrightarrow{PC}|\Rightarrow\sqrt{(a-2)^2+(b-4)^2}=4\sqrt{2}$，联立解得$C(6,8)$或$C(-2,0)$（舍），即$C(6,8)$。
情况3：BP为斜边，$PC=BC$，$\angle PCB=90^\circ$
设$C(a,b)$，$BC=PC$且$\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CP}=0$。
$\sqrt{(a-6)^2+b^2}=\sqrt{(a-2)^2+(b-4)^2}$且$(6-a)(2-a)+b(b-4)=0$，解得$C(4,6)$（第一象限）。
综上，点C的坐标为$(6,8)$或$(10,4)$或$(4,6)$。
答案：$(6,8)$，$(10,4)$，$(4,6)$

13. (8分)(2023·广东)已知一次函数$y= kx+b的图象经过点(0,1)与点(2,5)$,求该一次函数的表达式.

答案： 解：因为一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(0,1)$与点$(2,5)$，
将点$(0,1)$代入$y=kx+b$，得$1=k×0 + b$，即$b=1$。
将点$(2,5)$和$b=1$代入$y=kx+b$，得$5=2k + 1$，
解得$2k=4$，$k=2$。
所以该一次函数的表达式为$y=2x + 1$。

14. (12分)新趋势 学科融合 物理实验证实:在弹性限度内,某弹簧长度$y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间满足函数表达式y= kx+15$.下表是测量物体质量时,该弹簧长度与所挂物体质量之间的数量关系:
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)当弹簧长度为20 cm时,求所挂物体的质量.

答案：
(1)将$x=2$，$y=19$代入$y=kx + 15$，得$19 = 2k+15$，解得$k=2$，所以函数表达式为$y=2x + 15$。
(2)当$y=20$时，$20=2x + 15$，解得$x=2.5$，所挂物体的质量为$2.5\ \text{kg}$。