《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

27. (8 分)在平面直角坐标系中,$ O $ 是原点,点 $ A,B $ 的坐标分别是 $ (-4,0),(2,0) $.
(1) 在 $ y $ 轴上是否存在点 $ C $,使 $ \triangle ABC $ 的面积是 12? 若存在,求出点 $ C $ 的坐标;若不存在,请说明理由;
(2) 已知 $ P $ 是 $ y $ 轴正半轴上一点,且到 $ x $ 轴的距离为 3. 动点 $ Q $ 从点 $ P $ 出发,沿 $ x $ 轴负半轴方向以每秒 1 个单位长度的速度运动,设运动的时间为 $ t $ s,则当 $ t $ 的值为多少时,四边形 $ ABPQ $ 的面积为 15? 求出此时点 $ Q $ 的坐标.

答案：
(1)因为A(−4,0)，B(2,0)，所以OA=4，OB=2，所以AB=OA+OB=6。因为点C在y轴上，所以OC⊥AB，所以S△ABC=1/2AB·OC。因为S△ABC=12，所以OC=2×12/6=4，所以点C的坐标为(0,4)或(0,−4)。
(2)因为P是y轴正半轴上一点，且到x轴的距离为3，所以PO⊥AB，PO=3。由题意，得PQ//AB，PQ=t。因为AB=6，所以S四边形ABPQ=1/2(PQ+AB)·PO=3/2(t+6)。当S四边形ABPQ=15时，3/2(t+6)=15，解得t=4，则PQ=4，所以Q(−4,3)故当t的值为4时，四边形ABPQ的面积为15，此时点Q的坐标为(−4,3)。

28. (8 分)新趋势 推导探究 在同一平面内,若一个点到一条直线的距离不大于 1,则称这个点是该直线的“伴侣点”. 在平面直角坐标系中,已知点 $ M(1,0) $,过点 $ M $ 作直线 $ l $ 平行于 $ y $ 轴,$ \triangle ABC $ 的三个顶点的坐标分别为 $ A(-1,a),B(b,2a),C(-\frac{1}{2},a - 1) $. 将 $ \triangle ABC $ 进行平移,平移后点 $ A,B,C $ 的对应点分别为 $ D,E,F $.
(1) 点 $ A $ 是直线 $ l $ 的“伴侣点”吗? 请说明理由;
(2) 若点 $ F $ 刚好落在直线 $ l $ 上,点 $ F $ 的纵坐标为 $ a + b $,点 $ E $ 落在 $ x $ 轴上,且 $ \triangle MFD $ 的面积为 $ \frac{1}{12} $,则点 $ B $ 是直线 $ l $ 的“伴侣点”吗? 请说明理由.

答案：
(1)点A不是直线l的“伴侣点”.理由如下:因为点A的坐标为(-1,a)，直线l:x=1，所以点A到直线l的距离为2.又2>1，所以点A不是直线l的“伴侣点”.
(2)点B是直线l的“伴侣点”.理由如下:因为点C(-1/2,a-1)的对应点为F，且点F在直线l上，点F的纵坐标为a+b，所以点F的坐标为(1,a+b)，所以△ABC先向右平移3/2个单位长度，再沿y轴方向平移|b+1|个单位长度可得△DEF.因为点A的坐标为(-1,a)，点B的坐标为(b,2a)，所以点D的坐标为(1/2,a+b+1)，点E的坐标为(b+3/2,2a+b+1).因为点E在x轴上，所以2a+b+1=0.因为△MFD的面积为1/12，所以1/2×(1-1/2)×|a+b|=1/12，所以a+b=±1/3.当a+b=1/3时，解方程组{2a+b+1=0，a+b=1/3，得{a=-4/3，b=5/3，所以点B的坐标为(5/3,-8/3)，所以点B到直线l的距离为5/3-1=2/3.又2/3<1，所以点B是直线l的“伴侣点”;当a+b=-1/3时，解方程组{2a+b+1=0，a+b=-1/3，得{a=-2/3，b=1/3，所以点B的坐标为(1/3,-4/3)，所以点B到直线l的距离为1-1/3=2/3.又2/3<1，所以点B是直线l的“伴侣点”.综上所述，点B是直线l的“伴侣点”.