《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

25. (5 分)已知 $a^{2}-15$ 的算术平方根是整数,求满足条件的所有整数 a 的值.

答案： 设$a^2-15$的算术平方根为$x$,则$a^2-15=x^2$,所以$a^2-x^2=15$,所以$(a+x)(a-x)=15$.因为$15=1×15=3×5=(-1)×(-15)=(-3)×(-5)$,且$a$为整数,$x$为非负整数,所以$\begin{cases}a+x=15,\\a-x=1\end{cases}$或$\begin{cases}a+x=5,\\a-x=3\end{cases}$或$\begin{cases}a+x=-1,\\a-x=-15\end{cases}$或$\begin{cases}a+x=-3,\\a-x=-5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=8,\\x=7\end{cases}$或$\begin{cases}a=4,\\x=1\end{cases}$或$\begin{cases}a=-8,\\x=7\end{cases}$或$\begin{cases}a=-4,\\x=1,\end{cases}$所以满足条件的所有整数$a$的值为$\pm8$,$\pm4$.

26. (6 分)亮点原创 已知实数 a,b 满足 $b^{2}= 1+\sqrt{a - 2}-\sqrt{2 - a}$,且 $|b|+b\gt0$,求代数式 $\frac{2025}{ab}+\frac{2025}{(a + 1)(b + 1)}+\frac{2025}{(a + 2)(b + 2)}+…+\frac{2025}{(a + 2023)(b + 2023)}$ 的值.

答案： 由题意,得$a-2\geq0$且$2-a\geq0$,所以$a\geq2$且$a\leq2$,即$a=2$,所以$b^2=1$.因为$|b|+b＞0$,所以$b＞0$,所以$b=1$,所以$\frac{2025}{ab}+\frac{2025}{(a+1)(b+1)}+\frac{2025}{(a+2)(b+2)}+\cdots+\frac{2025}{(a+2023)(b+2023)}=\frac{2025}{1×2}+\frac{2025}{2×3}+\frac{2025}{3×4}+\cdots+\frac{2025}{2024×2025}=2025×(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{2024×2025})=2025×(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025})=2025×(1-\frac{1}{2025})=2024$.

27. (6 分)新素养 应用意识 学习了无理数后,某数学兴趣小组开展了一次探究活动:估计 $\sqrt{13}$ 的近似值.
小明的方法如下:因为 $9\lt13\lt16$,所以 $\sqrt{9}\lt\sqrt{13}\lt\sqrt{16}$,即 $3\lt\sqrt{13}\lt4$,所以可设 $\sqrt{13}= 3 + k$ ($0\lt k\lt1$),所以 $(\sqrt{13})^{2}= (3 + k)^{2}$,即 $13 = 9 + 6k + k^{2}$,所以 $13≈9 + 6k$,解得 $k≈\frac{2}{3}$,所以 $\sqrt{13}≈3+\frac{2}{3}≈3.67$.
(1) 请你依照小明的方法估算: $\sqrt{37}≈$6.08;(结果保留两位小数)
(2) 已知 a,b,m 都是非负整数.若 $a\lt\sqrt{m}\lt a + 1$,且 $m = a^{2}+b$,求 $\sqrt{m}$ 的近似值.(用含 a,b 的代数式表示)
因为$a＜\sqrt{m}＜a+1$，所以可设$\sqrt{m}=a+k(0＜k＜1)$，所以$(\sqrt{m})^2=(a+k)^2$，即$m=a^2+2ak+k^2$，所以$m\approx a^2+2ak$。又$m=a^2+b$，所以$b\approx2ak$，解得$k\approx\frac{b}{2a}$，所以$\sqrt{m}\approx a+\frac{b}{2a}$。

答案：
(1)6.08 解析:因为$36＜37＜49$,所以$\sqrt{36}＜\sqrt{37}＜\sqrt{49}$,即$6＜\sqrt{37}＜7$,所以可设$\sqrt{37}=6+k(0＜k＜1)$,所以$(\sqrt{37})^2=(6+k)^2$,即$37=36+12k+k^2$,所以$37\approx36+12k$,解得$k\approx\frac{1}{12}$,所以$\sqrt{37}\approx6+\frac{1}{12}\approx6.08$.
(2)因为$a＜\sqrt{m}＜a+1$,所以可设$\sqrt{m}=a+k(0＜k＜1)$,所以$(\sqrt{m})^2=(a+k)^2$,即$m=a^2+2ak+k^2$,所以$m\approx a^2+2ak$.又$m=a^2+b$,所以$b\approx2ak$,解得$k\approx\frac{b}{2a}$,所以$\sqrt{m}\approx a+\frac{b}{2a}$.