《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

7. 定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为______6.

答案： 6

8. 如图,在平面内,两条直线$l_{1},l_{2}$相交于点O,对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线$l_{1},l_{2}$的距离,则称$(p,q)$为点M的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是$(3,2)$的点共有4个.

答案： 4

9. 如图,将一等边三角形的三条边各8等分,按顺时针方向(图中箭头方向)标注各等分点的序号0,1,2,3,4,5,6,7,8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来,这样就建立了“三角形”坐标系.在建立的“三角形”坐标系中,每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(水平方向开始,按顺时针方向,取与三角形外箭头方向一致的一侧序号),如:点A的坐标可表示为$(1,2,5)$,点B的坐标可表示为$(4,3,1)$.按此方法,若点C的坐标可表示为$(3,m,m-1)$,则$m=$3.

答案： 3 解析:由题意，得点C的坐标可表示为(3，3，2)，所以m=3.

10. 在平面直角坐标系中,O是原点,对于两点A,B,给出如下定义:以线段AB为直角边的等腰直角三角形称为点A,B的“对称三角形”.若一次函数$y= -\frac {1}{2}x+4$的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,则在第一象限内,点A,B的“对称三角形”的另一个顶点C的坐标为______(4，12)或(12，8).

答案： (4，12)或(12，8) 解析:在y=-$\frac{1}{2}$x + 4中，令x=0，得y=4，所以B(0，4)，所以BO=4；令y=0，得-$\frac{1}{2}$x + 4=0，解得x=8，所以A(8，0)，所以AO=8.分类讨论如下：①如图①，当AC为该“对称三角形”的斜边时，过点C作CD⊥y轴于点D，则BC=AB，∠BDC=∠AOB=∠ABC=90°，所以∠BCD + ∠CBD=90°，∠ABO + ∠CBD=180° - ∠ABC=90°，所以∠BCD=∠ABO.在△BCD和△ABO中，{∠BDC=∠AOB，∠BCD=∠ABO，BC=AB}，所以△BCD≌△ABO(AAS)，所以BD=AO=8，CD=BO=4，所以OD=BO + BD=12，所以C(4，12)；②如图②，当BC为该“对称三角形”的斜边时，过点C作CE⊥x轴于点E，则同理可得△CAE≌△ABO，所以CE=AO=8，AE=BO=4，所以OE=AO + AE=12，所以C(12，8).综上所述，点A，B的“对称三角形”的另一个顶点C的坐标为(4，12)或(12，8).

11. (16分)(2025·江苏南京期末)如图①,在四边形ABCD中,若$∠A,∠C$均为直角,则称这样的四边形为“美妙四边形”.
(1) 概念理解:长方形是“美妙四边形”;(填“是”或“不是”)
(2) 性质探究:如图①,求证:$CD^{2}-AB^{2}= AD^{2}-BC^{2}$;连接BD.因为∠A=∠C=90°，所以AB²+AD²=BD²，BC²+CD²=BD²，所以AB²+AD²=BC²+CD²，所以CD² - AB²=AD² - BC².
(3) 概念运用:如图②,在$△ABC$中,$AB= AC,∠BAC= 90^{\circ }$,D是BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,连接DE,DF.若四边形AEDF是“美妙四边形”,求证:$AE+AF= AB$.连接AD.因为AB=AC，∠BAC=90°，所以∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC)=45°.因为D是BC的中点，所以AD=BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，AD⊥BC，所以∠DAF=∠C=45°，∠ADB=90°，所以∠DAF=∠B，∠ADE + ∠BDE=90°.由题意，得∠EDF=90°，所以∠ADE + ∠ADF=90°，所以∠ADF=∠BDE.在△ADF和△BDE中，{∠DAF=∠B，AD=BD，∠ADF=∠BDE}，所以△ADF≌△BDE(ASA)，所以AF=BE.因为AE + BE=AB，所以AE + AF=AB.

答案：
(1)是
(2)连接BD.因为∠A=∠C=90°，所以AB²+AD²=BD²，BC²+CD²=BD²，所以AB²+AD²=BC²+CD²，所以CD² - AB²=AD² - BC².
(3)连接AD.因为AB=AC，∠BAC=90°，所以∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC)=45°.因为D是BC的中点，所以AD=BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，AD⊥BC，所以∠DAF=∠C=45°，∠ADB=90°，所以∠DAF=∠B，∠ADE + ∠BDE=90°.由题意，得∠EDF=90°，所以∠ADE + ∠ADF=90°，所以∠ADF=∠BDE.在△ADF和△BDE中，{∠DAF=∠B，AD=BD，∠ADF=∠BDE}，所以△ADF≌△BDE(ASA)，所以AF=BE.因为AE + BE=AB，所以AE + AF=AB.