《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

23. (5分)
【教材回顾】筝形的定义:两组邻边分别相等的四边形叫作筝形.几何图形的定义通常可以作为图形的性质,也可以作为图形的判定方法.也就是说:如图,若四边形ABCD是筝形,则$AB= AD,BC= DC$;若$AB= AD,BC= DC$,则四边形ABCD是筝形.
【解决问题】如图,四边形ABCD是筝形,其中$AB= AD,BC= DC$,对角线AC,BD相交于点O,过点O作$OM⊥AB,ON⊥AD$,垂足分别是M,N.求证:四边形AMON是筝形.

答案： 在△ABC和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ BC=DC,\\ AC=AC,\end{array}\right. $所以$△ABC\cong △ADC$(SSS)，所以$∠BAC = ∠DAC$。因为OM⊥AB，ON⊥AD，所以$∠OMA = ∠ONA = 90^{\circ }$。在△AOM和△AON中，$\left\{\begin{array}{l} ∠OMA=∠ONA,\\ ∠OAM=∠OAN,\\ OA=OA,\end{array}\right. $所以$△AOM\cong △AON$(AAS)，所以AM = AN，OM = ON，所以四边形AMON是筝形。

24. (6分)如图,在$△ABC$中,$AB= AC,∠A= 36^{\circ }$,CD是角平分线,点E,F分别在AC,BC上,且$∠EDF= 108^{\circ }$.
(1) 求$∠ADC$的度数;
(2) 求证:$AE+BF= BC$.

答案：
(1)因为AB = AC，$∠A = 36^{\circ }$，所以$∠B = ∠ACB=\frac {1}{2}(180^{\circ } - ∠A)=72^{\circ }$。因为CD是△ABC的角平分线，所以$∠ACD = ∠BCD=\frac {1}{2}∠ACB = 36^{\circ }$，所以$∠ADC = ∠B + ∠BCD = 108^{\circ }$。
(2)因为$∠A = 36^{\circ }$，$∠ACD = ∠DCF = 36^{\circ }$，所以$∠A = ∠ACD = ∠DCF$，所以AD = CD。因为$∠ADC = 108^{\circ }$，$∠EDF = 108^{\circ }$，所以$∠ADC = ∠EDF$，所以$∠ADC - ∠CDE = ∠EDF - ∠CDE$，所以$∠ADE = ∠CDF$。在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠DCF,\\ AD=CD,\\ ∠ADE=∠CDF,\end{array}\right. $所以$△ADE\cong △CDF$(ASA)，所以AE = CF。因为CF + BF = BC，所以AE + BF = BC。

25. (8分)如图,点A,B,C在同一条直线上,分别以AB,AC为腰,在BC的同侧作等腰三角形,使$AD= AB,AE= AC$,BE,DC交于点P,BE与AD交于点M,DC与AE交于点N.
(1) 如图①,$∠BAD= ∠CAE= 60^{\circ }$.
① 求证:$△ABE\cong △ADC$;
② 求$∠BPD$的度数;
(2) 如图②,若$∠BAD= ∠CAE= α$,则BE与DC之间的数量关系为BE = DC,∠BPD的度数为α(用含α的代数式表示).

答案：
(1)①因为$∠BAD = ∠CAE$，所以$∠BAD + ∠DAE = ∠CAE + ∠DAE$，所以$∠BAE = ∠DAC$。在△ABE和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠BAE=∠DAC,\\ AE=AC,\end{array}\right. $所以$△ABE\cong △ADC$(SAS)。
②因为$△ABE\cong △ADC$，所以$∠ABE = ∠ADC$。因为$∠BPD = ∠PCB + ∠ABE$，$∠BAD = ∠PCB + ∠ADC$，所以$∠BPD = ∠BAD = 60^{\circ }$。
(2)BE = DC　α