《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

16. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ},CD\perp AB于点D$,$CE平分\angle ACD$,交$AB于点E$.若$AC = 2,AE = 1$,则$BC= $1.5.

答案： 1.5

17. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形$ABCD$、正方形$EFGH$、正方形$MNXT的面积分别为S_{1},S_{2},S_{3}$.若正方形$EFGH的边长为4$,则$S_{1}+S_{2}+S_{3}= $48.

答案： 48 解析:设八个全等的直角三角形的两直角边长分别为 a,b(a＞b),则$S_{1}=(a + b)^{2}$,$S_{2}=a^{2}+b^{2}$,$S_{3}=(a - b)^{2}$,所以$S_{1}+S_{2}+S_{3}=3(a^{2}+b^{2})$.又$S_{2}=4^{2}=16$,所以$a^{2}+b^{2}=16$,所以$S_{1}+S_{2}+S_{3}=48$.

18. (2025·江苏苏州期末)如图,圆柱形容器的高为$1.2m$,底面圆周长为$1m$.在容器内壁离容器底部$0.3m的点B$处有一只蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁离容器上沿$0.3m与蚊子相对的点A$处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为______$m$.(容器厚度忽略不计)

答案：
1.3 解析:如图为圆柱形容器侧面展开图的一半,作点 A 关于直线 MN 的对称点$A'$,连接$A'B$交 MN 于点 P,过点$A'$作$A'H⊥BN$,交 BN 的延长线于点 H,则 AP + BP 的值即为壁虎捕捉蚊子的最短距离,且$AP + BP=A'P + BP=A'B$.由题意,得$A'H = 0.5m$,$BH = 1.2 - 0.3 + 0.3 = 1.2(m)$,$∠A'HB = 90^{\circ}$,所以$A'B=\sqrt{A'H^{2}+BH^{2}}=1.3m$.故壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3 m.

19. (5分)如图是“弦图”的示意图,“弦图”最早是由古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,它标志着我国古代的数学成就.它是由$4$个全等的直角三角形与一个小正方形组成的大正方形,每个直角三角形的两条直角边长分别为$a,b(a ＜ b)$,斜边长为$c$.请你运用此图形证明勾股定理:$a^{2}+b^{2}= c^{2}$.

答案： 设大正方形的面积为$S_{1}$,小正方形的面积为$S_{2}$,每个直角三角形的面积为$S_{3}$.由题意,得$S_{1}=c^{2}$,$S_{2}=(b - a)^{2}$,$S_{3}=\frac{1}{2}ab$.因为$S_{2}+4S_{3}=S_{1}$,所以$(b - a)^{2}+4×\frac{1}{2}ab=c^{2}$,所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

20. (5分)新素养 几何直观 如图,在四边形$ABCD$中,$AB = 3,AD = 4,BC = 13,CD = 12,\angle A = 90^{\circ}$,求四边形$ABCD$的面积.

答案： 连接 BD.因为$∠A = 90^{\circ}$,AB = 3,AD = 4,所以$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB·AD = 6$,$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=5$.因为 BC = 13,CD = 12,所以$BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$,所以△BCD 为直角三角形,且$∠BDC = 90^{\circ}$,所以$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BD·CD = 30$,所以$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=36$.故四边形 ABCD 的面积是 36.