《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

12. (16分)如图,已知$AC// BD$,$AE$,$BE分别平分\angle BAC$,$\angle ABD$,点$E在线段CD$上.
(1)求$\angle AEB$的度数;
(2)求证:$CE= DE$.

答案：
(1)因为AC//BD，所以∠BAC + ∠ABD = 180°。因为AE，BE分别平分∠BAC，∠ABD，所以∠BAE = ∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠ABE = ∠DBE = $\frac{1}{2}$∠ABD，所以∠BAE + ∠ABE = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠ABD) = 90°，所以∠AEB = 90°。
(2)在AB上截取AF = AC，连接EF。在△ACE和△AFE中，$\left\{\begin{array}{l} AC=AF\\ ∠CAE=∠FAE\\ AE=AE\end{array}\right. $，所以△ACE≌△AFE(SAS)，所以CE = FE，∠AEC = ∠AEF。因为∠AEB = 90°，所以∠AEC + ∠BED = 180° - ∠AEB = 90°，∠AEF + ∠BEF = 90°，所以∠BED = ∠BEF。在△BED和△BEF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠DBE=∠FBE\\ BE=BE\\ ∠BED=∠BEF\end{array}\right. $，所以△BED≌△BEF(ASA)，所以DE = FE，所以CE = DE。

13. (18分)新素养推理能力(2025·江苏无锡期末)如图,$\angle CDE是四边形ABCD$的一个外角,$AD// BC$,$BC= BD$,点$F在CD$的延长线上,$\angle FAB= \angle FBA$,$FG\perp AE$,垂足为$G$.

(1)求证:
①$DC平分\angle BDE$;
②$BC+DG= AG$;
(2)已知$AB= 4$,$BC= 3$,$DG= 1$.
①求$\angle AFD$的度数;
②求四边形$ABCF$的面积.

答案：
(1)①因为AD//BC，所以∠CDE = ∠DCB。因为BC = BD，所以∠CDB = ∠DCB，所以∠CDE = ∠CDB，所以DC平分∠BDE。②如图,过点F作FH⊥BD,交BD的延长线于点H,则∠FHD = 90°。因为∠FDG = ∠CDE,∠FDH = ∠CDB,∠CDE = ∠CDB,所以∠FDG = ∠FDH。因为FG⊥AE,所以∠FGA = ∠FGD = 90°,所以∠FHD = ∠FGD。在△DFH和△DFG中,$\left\{\begin{array}{l} ∠FHD=∠FGD\\ ∠FDH=∠FDG\\ DF=DF\end{array}\right. $，所以△DFH≌△DFG(AAS),所以FH = FG,DH = DG,所以BH = BD + DH = BC + DG。因为∠FAB = ∠FBA,所以BF = AF。在Rt△BFH和Rt△AFG中,$\left\{\begin{array}{l} BF=AF\\ FH=FG\end{array}\right. $，所以Rt△BFH≌Rt△AFG(HL),所以BH = AG,所以BC + DG = AG。
(2)①因为AB = 4,BC = 3,DG = 1,所以BD = BC = 3,AG = BC + DG = 4,所以AD = AG + DG = 5,所以$AB^{2}+BD^{2}=AD^{2}$,所以△ABD是直角三角形,且∠ABD = 90°。如图,过点F作FM⊥AB于点M,交AD于点N,则∠AMF = ∠BMF = 90°,所以∠AMF = ∠ABD,所以FM//BD,所以∠BFM = ∠FBD,∠DFN = ∠CDB。因为∠ADF = ∠CDE = ∠CDB,所以∠ADF = ∠DFN。因为AF = BF,所以∠AFM = ∠BFM,所以∠AFM = ∠FBD。由
(1)知Rt△BFH≌Rt△AFG,所以∠FBD = ∠FAG,所以∠AFM = ∠FAG。因为∠AFD + ∠FAG + ∠ADF = 180°,所以∠AFD + ∠AFM + ∠DFN = 180°,所以2∠AFD = °,所以∠AFD = 90°。②如图,过点D作DQ⊥BC于点Q。因为AF = BF,FM⊥AB,AB = 4,所以AM = BM = $\frac{1}{2}AB = 2$,所以FG = FH = BM = 2。因为AD = 5,所以$S_{△AFD}=\frac{1}{2}AD\cdot FG = 5$。因为AD//BC,所以$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot BD=\frac{1}{2}AD\cdot DQ$。因为BD = 3,所以$S_{△ABD}=6$,$DQ=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。因为BC = 3,所以$S_{△BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot DQ=\frac{18}{5}$,所以$S_{四边形ABCF}=S_{△AFD}+S_{△ABD}+S_{△BCD}=\frac{73}{5}$。故四边形ABCF的面积为$\frac{73}{5}$。