《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

2. (6分)如图,在$\triangle ABC$中,$BE,CF$是高,点$D在线段BE$上,点$G在线段CF$的延长线上,且$BD= CA,GC= AB$,连接$AD,AG$.
(1) 求证:$AD= AG$;
(2) $AD与AG$之间的位置关系如何?请说明理由.

答案：
(1)因为BE,CF是△ABC的高,所以BE⊥CA,CF⊥AB,所以∠HEC=∠HFB=90°,所以∠GCA+∠CHE=90°,∠ABD+∠BHF=90°.因为∠CHE=∠BHF,所以∠ABD=∠GCA.在△ABD和△GCA中$,\begin{cases}$
AB = GC\\
∠ABD = ∠GCA\\
BD = CA
$\end{cases}$所以△ABD≌△GCA(SAS),所以AD=AG.
(2)AD⊥AG.理由如下:因为BE⊥AC,所以∠AED=90°.因为△ABD≌△GCA,所以∠ADB=∠GAC.因为∠ADB=∠AED+∠DAE,∠GAC=∠GAD+∠DAE,所以∠GAD=∠AED=90°,所以AD⊥AG.

3. (6分)如图,在等边三角形$ABC$中,$AD交BC于点E$,且$AD= AB$.
(1) 如图①,当$AD\perp BC$时,求$\angle BDC$的度数;
(2) 如图②,当点$E在边BC$上运动时,$\angle BDC$的度数是否发生变化?若变化,请求出变化的范围;若不变,请说明理由.

答案：
(1)因为△ABC为等边三角形,所以AB=AC,∠BAC=60°.因为AD⊥BC,所以∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°.因为AD=AB=AC,所以∠ADB=∠ABD=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAD)=75°,∠ADC=∠ACD=$\frac{1}{2}$(180°−∠CAD)=75°,所以∠BDC=∠ADB+∠ADC=150°.
(2)∠BDC的度数不变,理由如下;因为△ABC为等边三角形,所以AB=AC,∠BAC=60°.因为AD=AB=AC,所以∠ADB=∠ABD=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAD),∠ADC=∠ACD=$\frac{1}{2}$(180°−∠CAD),所以∠BDC=∠ADB+∠ADC=180°−$\frac{1}{2}$(∠BAD+∠CAD)=180°−$\frac{1}{2}$∠BAC=150°.

4. (6分)新素养 几何直观 已知一个三角形两条边的长分别为$1cm和2cm$,一个内角为$40^{\circ }$.
(1) 请你在图①中作出一个满足题设条件的三角形;
(2) 你是否还能作出既满足题设条件,又与(1)中所作的三角形不全等的三角形?若能,请你在图②中用“尺规作图”作出所有这样的三角形;若不能,请说明理由;
(3) 如果将题设条件改为“三角形两条边的长分别为$3cm和4cm$,一个内角为$40^{\circ }$”,那么满足这一条件,且彼此不全等的三角形共有______个.
(请在所作图中标出已知角的度数和已知边的长度,“尺规作图”不要求写作法,但要保留作图痕迹)

答案：

(1)如图①所示.

(2)能,如图②所示.
(3)4　解析:当40°角为已知两边的夹角时,可画出1个满足条件的三角形;当40°角为3cm长的边所对的角时,可画出2个满足条件的三角形;当40°角为4cm长的边所对的角时,可画出1个满足条件的三角形.综上所述,满足题意的三角形共有1+2+1=4(个).