《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

6. 公元 3 世纪,我国古代数学家刘徽就能利用近似公式 $ \sqrt{a^{2}+r}\approx a+\frac{r}{2a} $ 得到无理数的近似值,其中 $ r $ 取正整数,且 $ a $ 取尽可能大的正整数.例如:把 $ \sqrt{11} $ 化成 $ \sqrt{3^{2}+2} $,再根据近似公式得出 $ \sqrt{11}\approx 3+\frac{2}{2×3}= \frac{10}{3} $.当利用此公式计算 $ \sqrt{17} $ 的近似值时, $ \sqrt{17}\approx $$\frac{33}{8}$.

答案： $\frac{33}{8}$

7. (2025·江苏徐州模拟)在《九章算术》中,有这样一个问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”它的意思如下:一根竹子原高一丈(10 尺),中部一处折断,竹梢触地面处离竹根 3 尺,则折断处离地面4.55尺.

答案： 4.55

8. 漏刻是我国古代的一种计时工具.据史书记载,西周时期就已经出现了漏刻,这是中国古代人民对函数思想的创造性应用.小明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型,研究中发现水位 $ h(cm) $ 是时间 $ t(min) $ 的一次函数.下表是小明记录的部分数据,其中有一个 $ h $ 的值记录错误,请排除该数据后利用正确的数据确定当 $ h = 8 cm $ 时,对应的 $ t = $15 $ min $.
| $ t/min $ | … | 1 | 2 | 3 | 5 | … |
| $ h/cm $ | … | 2.4 | 2.8 | 3.4 | 4 | … |

答案： 15

9. (2023·湖北孝感)如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设 $ AF = a $, $ DF = b $,连接 $ AE,BE $.若 $ \triangle ADE $ 与 $ \triangle BEH $ 的面积相等,则 $ \frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{a^{2}}{b^{2}} = $3.

答案： 3

10. 亮点原创 刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家,他在《九章算术注》中指出:“勾、股幂合为弦幂,明矣.”也就是说,图①中直角三角形的三边长 $ a,b,c $ 存在 $ a^{2}+b^{2}= c^{2} $ 的关系.他在书中构造了一些基本图形来解决问题.如图②,分别将以 $ a $ 为边长的正方形和以 $ b $ 为边长的正方形置于以 $ c $ 为边长的大正方形的左下角和右上角.若 $ a + b - c = 6 $,则 $ (c - b)(c - a) = $______.

答案：
10. 18 解析:如图,因为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以$S_{阴影}=c^{2}-b^{2}=a^{2}$。因为$AB=c-b$，$AC=c-a$，所以$S_{长方形ACDB}=AB\cdot AC=(c-b)(c-a)$。因为$a+b-c=6$，所以$S_{长方形ACDB}=\frac{1}{2}[S_{阴影}-a^{2}+(a+b-c)^{2}]=18$，所以$(c-b)(c-a)=18$。

11. (10 分)“油纸伞”是汉族古老的传统工艺品之一,其制作工艺十分巧妙.如图是油纸伞的截面示意图,伞圈 $ D $ 沿着伞柄 $ AP $ 滑动时,总有伞骨 $ AB = AC $, $ BD = CD $.问:伞柄 $ AP $ 是否始终平分同一平面内两条伞骨所成的 $ ∠BAC $? 请说明理由.

答案： 11. 伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的$\angle BAC$。理由如下:在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AC\\ AD=AD\\ BD=CD\end{array}\right.$，所以$\triangle ABD\cong\triangle ACD(SSS)$，所以$\angle BAD=\angle CAD$，所以伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的$\angle BAC$。