《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

17. 如图,$OA⊥OM,OA= 4$,B为射线OM上的一个动点,分别以OB,AB为直角边,B为直角顶点,在OM两侧作等腰直角三角形OBF和等腰直角三角形ABE,连接EF交OM于点P,则当点B在射线OM上运动时,BP的长是______.

2

答案： 2 解析:过点 E 作 EN⊥OM 于点 N,则∠BNE=90°.因为 OA⊥OM,所以∠AOB=90°,所以∠ABO+∠BAO=90°,∠BNE=∠AOB.因为 AB 是等腰直角三角形 ABE的直角边,所以 AB=BE,∠ABE=90°,所以∠ABO+∠EBN=180°-∠ABE=90°,所以∠EBN=∠BAO.在△BNE 和△AOB 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BNE=∠AOB,\\ ∠EBN=∠BAO,\\ BE=AB,\end{array}\right. $所以△BNE≌△AOB(AAS),所以 NE=OB,NB=OA=4.因为 OB 是等腰直角三角形 OBF 的直角边,所以 BF=OB,∠FBO=90°,所以 BF=NE,∠FBP=180°-∠FBO=90°,所以∠FBP=∠ENP.在△FBP 和△ENP 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠FPB=∠EPN,\\ ∠FBP=∠ENP,\\ BF=NE,\end{array}\right. $所以△FBP≌△ENP(AAS),所以 BP=NP,所以$BP=\frac{1}{2}NB=2$.

18. (2025·江苏宿迁期末)如图,在等边三角形ABC中,高$AD= 10$,E是线段AD上一动点.现有一动点P沿着折线A—E—C运动,在AE上的速度是每秒4个单位长度,在EC上的速度是每秒2个单位长度,则点P从A运动到点C至少需5s.

答案： 5 解析:过点 E 作 EH⊥AB,垂足为 H,则∠AHE=90°.因为△ABC 是等边三角形,所以∠BAC=60°.因为 AD 是△ABC 的高,所以$∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=30°$,所以 AE=2EH.设点 P 从点 A 运动到点 C 需 t s,则$t=\frac{AE}{4}+\frac{EC}{2}=\frac{1}{2}(EH+EC)$.由题图可知,当 C,E,H 三点共线时,EH+EC 取最小值,且最小值即为 CH 的长.当 C,E,H 三点共线时,CH 即为等边三角形 ABC 的高,所以CH=AD=10,所以 t 的最小值为$\frac{1}{2}×10=5$,所以点 P 从点 A 运动到点 C 至少需 5 s.

19. (6分)新素养运算能力
(1) 计算:$\sqrt [3]{-8}-(\sqrt {3})^{2}-\sqrt {64}$; (2) 求x的值:$2x^{2}= 8$.

答案：
(1)原式=-2-3-8=-13.
(2)x=±2.

20. (4分)(2024·四川乐山)已知:如图,AB是$∠CAD$的平分线,$AC= AD$.求证:$∠C= ∠D$.

答案： 因为 AB 平分∠CAD,所以∠CAB=∠DAB.在△ACB 和△ADB 中,$\left\{\begin{array}{l} AC=AD,\\ ∠CAB=∠DAB,\\ AB=AB,\end{array}\right. $所以△ACB≌△ADB(SAS),所以∠C=∠D.

21. (4分)在①$AD= AE$;②$∠ABE= ∠ACD$;③$FB= FC$这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.
问题:如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC= ∠ACB$,点D在边AB上(不与点A,B重合),点E在边AC上(不与点A,C重合),连接BE,CD,BE与CD相交于点F.若①(填序号),求证:$BE= CD$.

答案： (答案不唯一)① 因为∠ABC=∠ACB,所以 AB=AC.在△ABE 和△ACD 中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠A=∠A,\\ AE=AD,\end{array}\right. $所以△ABE≌△ACD(SAS),所以 BE=CD.