《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

1. 亮点原创 在平面直角坐标系中,已知当$x＜2$时,对于x的每一个值,对应的正比例函数$y= kx的值都小于一次函数y= \frac {1}{2}x+3$的值,则k的取值范围为(C)
A.$k＜\frac {1}{2}$
B.$k＞2$
C.$\frac {1}{2}≤k≤2$
D.$0＜k≤2$

答案： C 解析:因为当x＜2时,对于x的每一个值,正比例函数y=kx的值都小于一次函数$y = \frac{1}{2}x + 3$的值,所以$k \geq \frac{1}{2}$。在y = kx中,令x = 2,得y = 2k；在$y = \frac{1}{2}x + 3$中,令x = 2,得y = 4,所以2k ≤ 4,解得k ≤ 2。故k的取值范围为$\frac{1}{2} \leq k \leq 2$。

2. 如图,在平面直角坐标系中,$△ABC$的顶点A,B,C的坐标分别为$(m,0),(0,1),(3,2)$,则当$△ABC$的周长最小时,m的值为(B)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： B 解析:因为$C_{\triangle ABC}=AB + AC + BC$,且BC的长为定值,所以当AB + AC的值最小时,$\triangle ABC$的周长最小。作点B关于x轴的对称点B',连接B'C,则当A为B'C与x轴的交点时,AB + AC取最小值,即$\triangle ABC$的周长最小。因为B(0,1),所以B'(0, - 1)。设直线B'C的函数表达式为y = kx + b。把点B'(0, - 1),C(3,2)分别代入y = kx + b,得$\begin{cases}b = - 1\\3k + b = 2\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = 1\\b = - 1\end{cases}$,所以直线B'C的函数表达式为y = x - 1。把点A(m,0)代入y = x - 1,得m - 1 = 0,解得m = 1。

3. 如图,$∠MON= 90^{\circ },△ABC$的顶点A,B分别在边OM,ON上,$AC= BC= 10,AB= 12$,当点B在边ON上运动时,点A随之在边OM上运动,$△ABC$的形状保持不变.在运动过程中,点C到点O的最大距离为(C)
A.12.5
B.13
C.14
D.15

答案： C 解析:如图,取AB的中点D,连接OD,CD,OC。因为$\angle MON = 90^{\circ}$,AB = 12,所以$OD = AD = BD = \frac{1}{2}AB = 6$。因为AC = BC = 10,所以CD⊥AB,所以$\angle ADC = 90^{\circ}$,所以$CD = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = 8$。因为OC ≤ OD + CD,所以OC ≤ 14,所以点C到点O的最大距离为14。

4. (2025·江苏常州模拟)如图,在$△ABC$中,$BC= 10,AC-AB= 4$,过点C作$∠BAC$平分线的垂线,垂足为D,连接BD,则$S_{△BDC}$的最大值为(A)
A.10
B.15
C.12
D.14

答案： A 解析:分别延长AB,CD交于点E。因为AD平分$\angle BAC$,所以$\angle EAD = \angle CAD$。因为CD⊥AD,所以$\angle ADE = \angle ADC = 90^{\circ}$。在$\triangle ADE$和$\triangle ADC$中,$\begin{cases}\angle ADE = \angle ADC\\AD = AD\\\angle EAD = \angle CAD\end{cases}$,所以$\triangle ADE\cong\triangle ADC(ASA)$,所以AE = AC,DE = DC,所以$S_{\triangle BDC} = \frac{1}{2}S_{\triangle BCE}$。因为AC - AB = 4,所以AE - AB = 4,即BE = 4。当BE⊥BC时,$S_{\triangle BCE}$取最大值。因为BC = 10,所以$S_{\triangle BCE} = \frac{1}{2}BC\cdot BE = 20$,所以$S_{\triangle BDC}$的最大值为$\frac{1}{2}×20 = 10$。

5. 如图①,在四边形ABCD中,$AB// CD,∠ADC= 90^{\circ }$,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度按$A→B→C→D$的顺序在边上匀速运动.设点P运动的时间为t s,$△APD$的面积为S,S关于t的函数图象如图②所示,则当点P运动到BC的中点时,$△APD$的面积为(D)
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

答案： D 解析:因为AB//CD,所以$\angle BAD + \angle ADC = 180^{\circ}$。因为$\angle ADC = 90^{\circ}$,所以$\angle BAD = 180^{\circ} - \angle ADC = 90^{\circ}$。观察题图可知:当t = 10时,点P运动到点C；当t = 12时,点P运动到点D,所以CD = 1×12 - 1×10 = 2。连接AC。因为当t = 10时,S = 4,所以$S_{\triangle ACD} = 4$。又$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}CD\cdot AD$,所以$AD = \frac{4×2}{2} = 4$。当点P运动到点B时,$\triangle APD$的面积取最大值,且最大值为10。连接BD,则$S_{\triangle ABD} = 10$。又$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}AD\cdot AB$,所以$AB = \frac{10×2}{4} = 5$,所以当点P运动到点B时,t = 5÷1 = 5。当5 ≤ t ≤ 10时,设S与t之间的函数表达式为S = kt + b。把点(5,10),(10,4)分别代入S = kt + b,得$\begin{cases}5k + b = 10\\10k + b = 4\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = -\frac{6}{5}\\b = 16\end{cases}$,所以$S = -\frac{6}{5}t + 16(5 \leq t \leq 10)$。因为BC = 1×10 - 5 = 5,所以当点P运动到BC的中点时,$BP = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2}$,此时$t = (5 + \frac{5}{2})÷1 = \frac{15}{2}$。在$S = -\frac{6}{5}t + 16$中,令$t = \frac{15}{2}$,得$S = -\frac{6}{5}×\frac{15}{2} + 16 = 7$。故当点P运动到BC的中点时,$\triangle APD$的面积为7。

6. 在数学活动课上,张老师给出以下两个信息:① 直线l经过点$(1,-1)$;②$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$是直线l上任意两点,且当$x_{1}-x_{2}= 2$时,$y_{2}-y_{1}= 6$.第一小组经过合作探究得出了直线l的函数表达式为______$y = - 3x + 2$.

答案： $y = - 3x + 2$解析:设直线l的函数表达式为y = kx + b。因为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$是直线l上任意两点,所以$y_1 = kx_1 + b,y_2 = kx_2 + b$,所以$y_1 - y_2 = k(x_1 - x_2)$。因为当$x_1 - x_2 = 2$时,$y_2 - y_1 = 6$,所以$k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = - 3$。把点(1, - 1)代入$y = - 3x + b$,得$( - 3)×1 + b = - 1$,解得b = 2,所以直线l的函数表达式为$y = - 3x + 2$。