《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

28. (10分)新趋势 综合实践 (2025·江苏连云港模拟)
【问题】
我们已经研究了等腰三角形的一些基本性质,如“等边对等角”“三线合一”等.对于一般三角形,有哪些对应的性质呢?
【探索1】
(1) 小华猜想:在$\triangle ABC$中,如果$AB＞AC$,那么$∠C＞∠B$.
也就是说:三角形中较大的边所对的角也比较大(简称“大边对大角”).
如图①,小华把AC沿$∠A$的平分线AD翻折,使点C落在边AB上的点$C'$处,得到证明思路.请根据这个思路,结合图①写出证明过程;
【探索2】
(2) 小华通过画图发现:若AM,AD,AH分别是$\triangle ABC$的中线、角平分线和高,且$AB≠AC$,则点D在直线BC上的位置始终处于点M和点H之间.你认为这个结论是否成立? 若成立,不妨设$AB＞AC$,请结合图②说明理由;若不成立,请举出反例.

答案：
(1)由折叠的性质,得∠AC'D = ∠C.因为∠AC'D = ∠B + ∠BDC',所以∠C = ∠B + ∠BDC',所以∠C ＞ ∠B.
(2)这个结论成立.理由如下:延长AM至点N,使NM = AM,连接BN.因为AM是△ABC的中线,所以BM = CM.在△BMN和△CMA中,$\begin{cases}NM = AM\\∠BMN = ∠CMA\\BM = CM\end{cases}$,所以△BMN≌△CMA(SAS),所以∠N = ∠CAM,NB = AC.因为AB ＞ AC,所以AB ＞ NB,所以∠N ＞ ∠BAM,所以∠CAM ＞ ∠BAM,所以∠BAM ＜ $\frac{1}{2}∠BAC$.因为AD是△ABC的角平分线,所以∠BAD = $\frac{1}{2}∠BAC$,所以∠BAM ＜ ∠BAD,所以点D在点M右侧.
因为AH是△ABC的高,所以AH⊥BC,所以∠AHB = 90°,所以∠BAH = 90° - ∠ABC.因为∠BAD = $\frac{1}{2}∠BAC = \frac{1}{2}(180^{\circ} - ∠ABC - ∠ACB)$,所以∠BAH - ∠BAD = $\frac{1}{2}(∠ACB - ∠ABC)$.因为AB ＞ AC,所以∠ACB ＞ ∠ABC,所以∠BAH ＞ ∠BAD,所以点D在点H左侧,所以点D在直线BC上的位置始终处于点M和点H之间,即这个结论成立.