《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

28. (8 分)新趋势 推导探究 (2025·江苏无锡期末)大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部写出来,于是小亮用 $\sqrt{2}-1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分.理由如下:对于正无理数,用其本身减去其整数部分,差就是其小数部分.因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分为 1,所以 $\sqrt{2}$ 的小数部分为 $\sqrt{2}-1$.
参考小亮同学的做法,解答下列问题:
(1) $\sqrt{13}$ 的小数部分为$\sqrt{13}-3$;
(2) 已知 $7+\sqrt{7}$ 与 $7-\sqrt{7}$ 的小数部分分别为 a 和 b,求代数式 $a^{2}+2ab + b^{2}$ 的值;
因为$4＜7＜9$,所以$2＜\sqrt{7}＜3$,所以$9＜7+\sqrt{7}＜10$,$4＜7-\sqrt{7}＜5$,所以$7+\sqrt{7}$的整数部分为9,$7-\sqrt{7}$的整数部分为4,所以$a=7+\sqrt{7}-9=\sqrt{7}-2$,$b=7-\sqrt{7}-4=3-\sqrt{7}$,所以$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2=(\sqrt{7}-2+3-\sqrt{7})^2=1$.
(3) 若 $\sqrt{9}+\sqrt[3]{9}= x + y$,其中 x 是整数,$0\lt y\lt1$,则 $(\frac{2}{5}x + y)^{3}= $9;
(4) 设无理数 $\sqrt{m}$ (m 为正整数)的整数部分为 n,则 $m-\sqrt{m}$ 的小数部分为$n+1-\sqrt{m}$.

答案：
(1)$\sqrt{13}-3$
(2)因为$4＜7＜9$,所以$2＜\sqrt{7}＜3$,所以$9＜7+\sqrt{7}＜10$,$4＜7-\sqrt{7}＜5$,所以$7+\sqrt{7}$的整数部分为9,$7-\sqrt{7}$的整数部分为4,所以$a=7+\sqrt{7}-9=\sqrt{7}-2$,$b=7-\sqrt{7}-4=3-\sqrt{7}$,所以$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2=(\sqrt{7}-2+3-\sqrt{7})^2=1$.
(3)9 解析:因为$8＜9＜27$,所以$2＜\sqrt[3]{9}＜3$.因为$\sqrt{9}=3$,$\sqrt{9}+\sqrt[3]{9}=x+y$,其中$x$是整数,$0＜y＜1$,所以$x=5$,$y=3+\sqrt[3]{9}-5=\sqrt[3]{9}-2$,所以$(\frac{2}{5}x+y)^3=(\frac{2}{5}×5+\sqrt[3]{9}-2)^3=9$.
(4)$n+1-\sqrt{m}$ 解析:因为无理数$\sqrt{m}$($m$为正整数)的整数部分为$n$,所以$n＜\sqrt{m}＜n+1$,所以$m-n-1＜m-\sqrt{m}＜m-n$,所以$m-\sqrt{m}$的整数部分为$m-n-1$,所以$m-\sqrt{m}$的小数部分为$m-\sqrt{m}-(m-n-1)=n+1-\sqrt{m}$.