《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

1. (5分)如图,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC于点D,AB = 17,AC = 10$.
(1) 若$CD = 6$,则$AD=$8,$BD=$15;
(2) 若$BC = 20$,求$CD$的长.设 CD = x.因为 BC = 20,所以 BD = BC - CD = 20 - x.因为$AD⊥BC$,所以$∠ADB = ∠ADC = 90^{\circ}$,所以$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$,$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$,所以$AB^{2}-BD^{2}=AC^{2}-CD^{2}$.因为 AB = 17,AC = 10,所以$17^{2}-(20 - x)^{2}=10^{2}-x^{2}$,解得$x=\frac{211}{40}$,即 CD 的长为$\frac{211}{40}$.

答案：
(1) 8 15
(2) 设 CD = x.因为 BC = 20,所以 BD = BC - CD = 20 - x.因为$AD⊥BC$,所以$∠ADB = ∠ADC = 90^{\circ}$,所以$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$,$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$,所以$AB^{2}-BD^{2}=AC^{2}-CD^{2}$.因为 AB = 17,AC = 10,所以$17^{2}-(20 - x)^{2}=10^{2}-x^{2}$,解得$x=\frac{211}{40}$,即 CD 的长为$\frac{211}{40}$.

2. (5分)新素养 应用意识 在某次机器人创意大赛中,一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径如图所示,机器人从$A处先往东走7m$,又往北走$1.5m$,遇到障碍后又往西走$3.5m$,再转向北走$4.5m$后往东一拐,仅走$1m就到达了B$处,则点$A与点B$之间的距离是多少?

答案：
如图,过点 B 作$BC⊥AD$于点 C,则$∠ACB = 90^{\circ}$,$AC = 7 - 3.5 + 1 = 4.5(m)$,$BC = 4.5 + 1.5 = 6(m)$,所以$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=7.5m$.故点 A 与点 B 之间的距离是 7.5 m.

3. (5分)如图,在四边形$ABCD$中,$\angle ABC = 90^{\circ},CD\perp AD,AD^{2}+CD^{2}= 2AB^{2}$,试探究$AB与BC$之间的数量关系,并说明理由.

答案： AB = BC.理由如下:连接 AC.因为$∠ABC = 90^{\circ}$,所以$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$.因为$CD⊥AD$,所以$∠D = 90^{\circ}$,所以$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$,所以$AB^{2}+BC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$.又$AD^{2}+CD^{2}=2AB^{2}$,所以$AB^{2}+BC^{2}=2AB^{2}$,所以 AB = BC.