《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

25. (8分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 2,\angle B= \angle C= 40^{\circ }$,点$D在边BC$上运动(点$D不与点B,C$重合),连接$AD$,作$\angle ADE= 40^{\circ },DE交边AC于点E$.
(1) 当$\angle BDA= 110^{\circ }$时,$\angle EDC= $30°,$\angle CED= $110°;点$D从点B向点C$运动的过程中,$\angle BDA$的度数逐渐变小(填“大”或“小”);
(2) 当$DC= 2$时,求证:$\triangle ABD\cong \triangle DCE$;
(3) 在点$D$运动的过程中,$\triangle ADE$可能是等腰三角形吗?若可能,请求出$\angle BDA$的度数;若不可能,请说明理由.

(2)因为∠C=40°,所以∠CED+∠EDC=180°−∠C=140°.因为∠ADE=40°,所以∠BDA+∠EDC=180°−∠ADE=140°,所以∠BDA=∠CED.因为AB=2,DC=2,所以AB=DC.在△ABD和△DCE中,
$\begin{cases}∠BDA = ∠CED\\∠B = ∠C\\AB = DC\end{cases}$
所以△ABD≌△DCE(AAS).
(3)设∠BDA=x(40＜x＜140),则由
(2),得∠CED=∠BDA=x°,所以∠AED=180°−∠CED=(180−x)°.因为∠C=40°,所以∠DAE=∠BDA−∠C=(x−40)°.当△ADE是等腰三角形时,分类讨论如下:①若∠AED=∠ADE,则180−x=40,解得x=140,不合题意,舍去;②若∠DAE=∠AED,则x−40=180−x,解得x=110,即∠BDA=110°;③若∠DAE=∠ADE,则x−40=40,解得x=80,即∠BDA=80°.综上所述,当△ADE是等腰三角形时,∠BDA的度数为110°或80°.

答案：
(1)30°　110°　小
(2)因为∠C=40°,所以∠CED+∠EDC=180°−∠C=140°.因为∠ADE=40°,所以∠BDA+∠EDC=180°−∠ADE=140°,所以∠BDA=∠CED.因为AB=2,DC=2,所以AB=DC.在△ABD和△DCE中,\\
$\begin{cases}∠BDA = ∠CED\\∠B = ∠C\\AB = DC\end{cases}$
所以△ABD≌△DCE(AAS).
(3)设∠BDA=x(40＜x＜140),则由
(2),得∠CED=∠BDA=x°,所以∠AED=180°−∠CED=(180−x)°.因为∠C=40°,所以∠DAE=∠BDA−∠C=(x−40)°.当△ADE是等腰三角形时,分类讨论如下:①若∠AED=∠ADE,则180−x=40,解得x=140,不合题意,舍去;②若∠DAE=∠AED,则x−40=180−x,解得x=110,即∠BDA=110°;③若∠DAE=∠ADE,则x−40=40,解得x=80,即∠BDA=80°.综上所述,当△ADE是等腰三角形时,∠BDA的度数为110°或80°.

26. (8分)新趋势 推导探究(2025·江苏徐州模拟)
发现
(1) 如图①,已知$A为线段BC$外一动点,且$BC= a,AB= b$,则当点$A$位于线段CB的延长线上时,$AC$的长取最大值,且最大值为$a+b$(用含$a,b$的代数式表示);
应用
如图②,$A为线段BC$外一动点,且$BC= 3,AB= 1$,分别以$AB,AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE$,连接$DC,BE$.
(2) 找出图中与$BE$相等的线段,并说明理由;
(3) 求$BE$长的最大值.

(2)DC=BE.理由如下:因为△ABD,△ACE都是等边三角形,所以AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,所以∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,所以∠CAD=∠EAB.在
$\begin{cases}AD = AB\\∠CAD = ∠EAB\\AC = AE\end{cases}$
所以△CAD≌△EAB(SAS),所以DC=BE.
(3)因为△ABD是等边三角形,所以BD=AB=1.由
(1)可知当点D在线段CB的延长线上时,DC的长取最大值,此时DC=BC+BD=3+1=4.因为DC=BE,所以BE长的最大值为4.

答案：
(1)线段CB的延长线上　a十b
(2)DC=BE.理由如下:因为△ABD,△ACE都是等边三角形,所以AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,所以∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,所以∠CAD=∠EAB.在
$\begin{cases}AD = AB\\∠CAD = ∠EAB\\AC = AE\end{cases}$
所以△CAD≌△EAB(SAS),所以DC=BE.
(3)因为△ABD是等边三角形,所以BD=AB=1.由
(1)可知当点D在线段CB的延长线上时,DC的长取最大值,此时DC=BC+BD=3+1=4.因为DC=BE,所以BE长的最大值为4.