《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

28. (8分)新趋势推导探究(2025·江苏苏州期末)如图①,已知$AC⊥AB,BD⊥AB,AB= 4cm$,$AC= BD= 3cm$,点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时点Q在线段BD上由点B向点D运动,当其中一点到达终点时,另一点也同时停止运动.设运动的时间为t s.
(1) 若点Q的速度与点P的速度相同,则当$t= 1$时,$\triangle ACP与\triangle BPQ$是否全等? 请说明理由,并判断此时PC和PQ之间的位置关系;
(2) 如图②,将原题中的“$AC⊥AB,BD⊥AB$”改为“$∠CAB= ∠DBA= 60^{\circ }$”,其他条件不变.设点Q的速度为x cm/s,则是否存在满足题意的x,使得$\triangle ACP与\triangle BPQ$全等? 若存在,求出相应的x,t的值;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)△ACP 与△BPQ 全等,此时 PC⊥PQ.理由如下:当 t=1 时,AP=BQ=1 cm.因为 AB=4 cm,所以 BP=AB-AP=3 cm.因为 AC=3 cm,所以 AC=BP.因为 AC⊥AB,BD⊥AB,所以∠A=∠B=90°.在△ACP和△BPQ 中,$\left\{\begin{array}{l} AP=BQ,\\ ∠A=∠B,\\ AC=BP,\end{array}\right. $所以△ACP≌△BPQ(SAS),所以∠ACP=∠BPQ,所以∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°,所以∠CPQ=180°-(∠APC+∠BPQ)=90°,所以 PC⊥PQ.
(2)由题意,得 AP=t cm,BP=(4-t)cm,BQ=xt cm.当△ACP 与△BPQ 全等时,分类讨论如下:① 若△ACP≌△BPQ,则$\left\{\begin{array}{l} AC=BP,\\ AP=BQ,\end{array}\right. $即$\left\{\begin{array}{l} 3=4-t,\\ t=xt,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} t=1,\\ x=1,\end{array}\right. $符合题意;② 若△ACP≌△BQP,则$\left\{\begin{array}{l} AC=BQ,\\ AP=BP,\end{array}\right. $即$\left\{\begin{array}{l} 3=xt,\\ t=4-t,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} t=2,\\ x=1.5,\end{array}\right. $符合题意.综上所述,存在满足题意的 x,使得△ACP 与△BPQ 全等,且 x,t 的值分别为 1,1 或 1.5,2.