《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

28. (8分)新趋势 情境素材 (2025·江苏泰州模拟)
最短路径问题
例:如图①,要在街道旁修建一个奶站,向居民区$A$,$B$提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使$A$,$B$到它的距离之和最短?

解:如图②,只有点$A关于直线l的对称点A'与点C$,$B$在同一条直线上时,才能使$AC+BC$的值最小.作点$A关于直线l的对称点A'$,连接$A'B$,交直线$l于点C$,则$C$就是所求的点.
应用:如图③,$A是锐角\angle MON$内部任意一点,在$\angle MON的两边OM$,$ON上各取一点B$,$C$,组成$\triangle ABC$,使它的周长最小.
(1) 借助直角三角板在图③中找出符合条件的点$B和点C$,并画出$\triangle ABC$;
(2) 若$\angle MON= 30^{\circ}$,$OA= 10$,求$\triangle ABC$周长的最小值.

答案：
(1)如图①,分别作点A关于直线OM,ON的对称点A',A'',连接A'A'',与OM,ON分别相交于B,C两点,连接AB,AC,则△ABC即为所求.
(2)如图②,线段A'A''的长度即为△ABC周长的最小值.连接OA',OA'',则由对称性可得OA'=OA,OA''=OA,∠A'OM=∠AOM,∠A''ON=∠AON,所以OA'=OA''=OA=10,∠A'OA''=∠A'OA+∠A''OA=2∠AOM+2∠AON=2∠MON.因为∠MON=30°,所以∠A'OA''=60°,所以△OA'A''为等边三角形,所以A'A''=OA'=10.故△ABC周长的最小值为10.