《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

26. 如图,在平面直角坐标系中,O是原点,直线$y= mx-5m(m＞0)$分别与x轴、y轴交于A,B两点,把线段AB绕点A顺时针旋转$90^{\circ }$后得到线段AC,连接OC.
(1)当$m= \frac {1}{2}$时,求点C的坐标；
(2)当m的值发生变化时,$\triangle AOC$的面积是否保持不变？若不变,计算其大小；若变化,请说明理由；
(3)当$S_{\triangle AOB}= \frac {3}{5}S_{\triangle AOC}$时,在y轴上找一点P,使得$\triangle PAB$是等腰三角形. 请直接写出满足条件的所有点P的坐标.

答案：
(1)过点 C 作$CD\perp x$轴于点 D,则$\angle CDA=$$\angle AOB=90^{\circ}$.由旋转的性质,得$CA=AB$,$\angle BAC=90^{\circ}$,所以$\angle OAB+\angle OAC=90^{\circ}$.因为$\angle DCA+\angle OAC=90^{\circ}$,所以$\angle DCA=\angle OAB$.在$\triangle CDA$和$\triangle AOB$中,$\left\{\begin{array}{l} \angle CDA=\angle AOB,\\ \angle DCA=\angle OAB,\\ CA=AB,\end{array}\right. $所以$\triangle CDA\cong \triangle AOB(AAS)$,所以$DC=$$OA$,$DA=OB$.当$m=\frac{1}{2}$时,直线 AB 的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$.在$y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$中,令$y=0$,得$\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}=0$,解得$x=5$,所以$A(5,$0),所以$DC=OA=5$;令$x=0$,得$y=-\frac{5}{2}$,所以$B(0,-\frac{5}{2})$,所以$DA=OB=\frac{5}{2}$,所以$OD=OA-DA=\frac{5}{2}$,所以点 C 的坐标为$(\frac{5}{2},5)$.
(2)过点 C 作$CE\perp x$轴于点 E,则同
(1)可得$EC=OA$.在$y=mx-5m$中,令$y=0$,得$mx-5m=0$,所以$m(x-5)=0$.因为$m＞0$,所以$x-5=0$,所以$x=5$,所以$A(5,$0),所以$EC=OA=5$,所以$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}OA\cdot $$EC=\frac{25}{2}$.故$\triangle AOC$的面积保持不变,为$\frac{25}{2}$.
(3)满足条件的所有点 P 的坐标为$(0,$$-3-\sqrt{34})$,$(0,-3+\sqrt{34})$,$(0,3)$,$(0,\frac{8}{3})$.