《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

25. (6分)先观察下列等式,再解答下面的问题:
①$\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}= 1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}= 1\frac{1}{2}$;
②$\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}= 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}= 1\frac{1}{6}$;
③$\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}= 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}= 1\frac{1}{12}$.
(1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜想$\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}$的结果,并验证;
(2)请你按照上面各等式反映的规律,用含n的代数式直接写出表示一般规律的等式.(n为正整数)

答案：
(1)$\sqrt {1+\frac {1}{4^{2}}+\frac {1}{5^{2}}}=1+\frac {1}{4}-\frac {1}{5}=1\frac {1}{20}$.验证:$\sqrt {1+\frac {1}{4^{2}}+\frac {1}{5^{2}}}=\sqrt {1+\frac {1}{16}+\frac {1}{25}}=\sqrt {1+\frac {25}{400}+\frac {16}{400}}=\sqrt {\frac {441}{400}}=1\frac {1}{20}$.
(2)$\sqrt {1+\frac {1}{n^{2}}+\frac {1}{(n+1)^{2}}}=1+\frac {1}{n}-\frac {1}{n+1}=1+\frac {1}{n(n+1)}$(n为正整数).

26. (6分)已知负数没有算术平方根,但对于三个互不相等的负整数,若两两乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“完美组合数”.例如:-9,-4,-1这三个数,$\sqrt{(-9)×(-4)}= 6,\sqrt{(-9)×(-1)}= 3,\sqrt{(-4)×(-1)}= 2$,其结果6,3,2都是整数,所以-9,-4,-1这三个数是“完美组合数”.
(1)-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”吗?请说明理由;
(2)若三个数-3,m,-12是“完美组合数”,且其中有两个数乘积的算术平方根为12,求m的值.

答案：
(1)-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”.理由如下:因为$\sqrt {(-18)×(-8)}=12$,$\sqrt {(-18)×(-2)}=6$,$\sqrt {(-8)×(-2)}=4$,且12,6,4都是整数,所以-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”.
(2)因为$\sqrt {(-3)×(-12)}=6$,所以分类讨论如下:① 当$\sqrt {-3m}=12$时,$-3m=144$,所以$m=-48$,此时$\sqrt {-12m}=24$,符合题意;② 当$\sqrt {-12m}=12$时,$-12m=144$,所以$m=-12$(不合题意,舍去).综上所述,m的值是-48.