《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

27. (9分)已知在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ },AC= CB$,直线$MN经过点C$,且$AD\perp MN于点D$,$BE\perp MN于点E$.
(1) 当$MN绕点C$旋转到图①的位置时,请你探究线段$DE,AD,BE$之间的数量关系,并加以证明;
(2) 当$MN绕点C$旋转到图②的位置时,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想,并加以证明;
(3) 当$MN绕点C$旋转到图③的位置时,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想,并加以证明.

答案：
(1)DE=AD+BE.证明如下:因为∠ACB=90°,所以∠ACD+∠BCE=180°−∠ACB=90°.因为AD⊥MN,BE⊥MN,所以∠ADC=∠CEB=90°,所以∠CBE+∠BCE=90°,所以∠ACD=∠CBE.在△ADC和△CEB中,
$\begin{cases}∠ADC = ∠CEB\\∠ACD = ∠CBE\\AC = CB\end{cases}$
所以△ADC≌△CEB(AAS),所以AD=CE,CD=BE,所以DE=CE+CD=AD+BE.
(2)发生变化,DE=AD−BE.证明如下:因为∠ACB=90°,所以∠ACD+∠BCE=90°.因为AD⊥MN,BE⊥MN,所以∠ADC=∠CEB=90°,所以∠CBE+∠BCE=90°,所以∠ACD=∠CBE.在△ADC和△CEB中,
$\begin{cases}∠ADC = ∠CEB\\∠ACD = ∠CBE\\AC = CB\end{cases}$
所以△ADC≌△CEB(AAS),所以AD=CE,CD=BE,所以DE=CE−CD=AD−BE.
(3)发生变化,DE=BE−AD.证明如下:因为∠ACB=90°,所以∠ACD+∠BCE=90°.因为AD⊥MN,BE⊥MN,所以∠ADC=∠CEB=90°,所以∠CBE+∠BCE=90°,所以∠ACD=∠CBE.在△ADC和△CEB中,
$\begin{cases}∠ADC = ∠CEB\\∠ACD = ∠CBE\\AC = CB\end{cases}$
所以△ADC≌△CEB(AAS),所以AD=CE,CD=BE,所以DE=CD−CE=BE−AD.

28. (9分)(2025·江苏宿迁期末)如图,$O是等边三角形ABC$内一点,$\angle AOB= 110^{\circ },\angle BOC= \alpha$,$D是\triangle ABC$外一点,且$\triangle ADC\cong \triangle BOC$,连接$OD$.
(1) 求证:$\triangle COD$为等边三角形;
(2) 当$\alpha =150^{\circ }$时,试判断$\triangle AOD$的形状,并说明理由;
(3) 当$\alpha$为多少度时,$\triangle AOD$为等腰三角形?

答案：
(1)因为△ABC为等边三角形,所以∠ACB=60°.因为△ADC≌△BOC,所以DC=OC,∠DCA=∠OCB,所以∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO,所以∠DCO=∠ACB=60°,所以△COD为等边三角形.
(2)△AOD为直角三角形.理由如下:因为△ADC≌△BOC,所以∠ADC=∠BOC=150°.因为△COD为等边三角形,所以∠ODC=60°,所以∠ADO=∠ADC−∠ODC=90°,所以△AOD为直角三角形.
(3)因为△ADC≌△BOC,所以∠ADC=∠BOC=α.因为△COD为等边三角形,所以∠DOC=∠ODC=60°,所以∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°.因为∠AOB=110°,所以∠AOD=360°−∠AOB−∠DOC−∠BOC=190°−α,所以∠OAD=180°−∠ADO−∠AOD=50°.若△AOD为等腰三角形,则分类讨论如下:①当∠AOD=∠ADO时,190°−α=α−60°,所以α=125°;②当∠ADO=∠OAD时,α−60°=50°,所以α=110°;③当∠AOD=∠OAD时,190°−α=50°,所以α=140°.综上所述,当α为125°或110°或140°时,△AOD为等腰三角形.