《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

7. 如图,在$△ABC$中,$∠ACB = 90°$,D是边AB上的点,过点D作$DE⊥AB$,交BC于点F,交AC的延长线于点E,连接CD.若$∠DCA = ∠A$,给出下列结论：①$∠DCB = ∠B$；②$CD = \frac{1}{2}AB$；③$△ADC$是等边三角形；④若$∠E = 30°$,则$DE = EF + CF$.其中正确的是 (B)
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④

答案： B　解析:因为∠ACB = 90°,所以∠DCA + ∠DCB = 90°,∠A + ∠B = 90°.因为∠DCA = ∠A,所以∠DCB = ∠B,故①正确;因为∠DCB = ∠B,所以CD = BD.因为∠DCA = ∠A,所以CD = AD,所以AD = BD,所以CD = $\frac{1}{2}$AB,故②正确;因为∠A的度数无法确定，所以无法证明△ADC是等边三角形，故③错误;因为DE⊥AB,所以∠ADE = 90°.若∠E = 30°,则∠A = 90° - ∠E = 60°,所以△ADC是等边三角形,所以∠ACD = ∠ADC = 60°,所以∠BCD = ∠ACB - ∠ACD = 30°,∠CDE = ∠ADE - ∠ADC = 30°,所以∠BCD = ∠CDE,所以DF = CF,所以DE = EF + DF = EF + CF,故④正确.

8. 如图,在$△ABC$中,$∠ACB = 90°$,$AC = BC$,AE是角平分线,过点B作$BD⊥AE$,交AE的延长线于点D,过点D作$DF⊥AC$,交AC的延长线于点F,连接CD.给出下列结论：①$∠ADC = 45°$；②$BD = \frac{1}{2}AE$；③$AC + CE = AB$；④$AB - BC = 2CF$.其中正确的有 ( D )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： D　解析:分别延长BD,AF相交于点G.因为AE是△ABC的角平分线，所以∠BAD = ∠GAD.因为BD⊥AE,所以∠ADB = ∠ADG = 90°.在△ABD和△AGD中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BAD = ∠GAD\\ AD = AD\\ ∠ADB = ∠ADG\end{array}\right.$，所以△ABD≌△AGD(ASA),所以∠ABD = ∠G,AB = AG,BD = GD,所以BD = $\frac{1}{2}$BG.因为AC = BC,∠ACB = 90°,所以∠CAB = ∠ABC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠ACB) = 45°,所以∠ABD = ∠G = $\frac{1}{2}$(180° - ∠CAB) = 67.5°,所以∠CBD = ∠ABD - ∠ABC = 22.5°.因为∠BCG = 180° - ∠ACB = 90°,所以CD = $\frac{1}{2}$BG,所以CD = BD,所以∠DCB = ∠CBD = 22.5°,所以∠CDB = 180° - ∠DCB - ∠CBD = 135°,所以∠ADC = ∠CDB - ∠ADB = 45°,故①正确;因为∠GAD + ∠CEA = 90°,∠GAD + ∠G = 90°,所以∠CEA = ∠G.在△ACE和△BCG中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CEA = ∠G\\ ∠ACE = ∠BCG\\ AC = BC\end{array}\right.$，所以△ACE≌△BCG(AAS),所以CE = CG,AE = BG,所以BD = $\frac{1}{2}$BG = $\frac{1}{2}$AE,故②正确;AC + CE = AC + CG = AG = AB,故③正确;因为CD = BD = GD,DF⊥AC,所以CG = 2CF,所以AB - BC = AG - AC = CG = 2CF,故④正确.综上所述，其中正确的结论有4个.

9. (2024·江苏镇江)若等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边的长为______6.

答案： 6

10. (2023·湖北荆州)如图,CD为$Rt△ABC$斜边AB上的中线,E为AC的中点,连接DE.若$AC = 8$,$CD = 5$,则$DE = $3.

答案： 3

11. (2023·广东广州)如图,AD是$△ABC$的角平分线,DE,DF分别是$△ABD和△ACD$的高,$AE = 12$,$DF = 5$,则点E到直线AD的距离为$\frac{60}{13}$.

答案： $\frac{60}{13}$

12. 新素养 推理能力 已知a,b,c为$△ABC$的三边长,b,c满足$(b - 2)^2 + |c - 3| = 0$,且$x = a为方程|x - 4| = 2$的解,则$△ABC$的形状为等腰三角形.

答案： 等腰

13. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠BAC = 90°$,$∠B = 36°$,AD是斜边BC上的中线,将$△ACD$沿AD对折,使点C落在点F处,DF与AB相交于点E,则$∠BED$的度数为108°.

答案： 108°

14. (2025·江苏常州模拟)如图,在$△ABC$中,$BA = AC$,$∠BAC = 20°$,点D在边AB上,且$DA = BC$,过点D作$DE// BC$,且$DE = BA$,连接CD,CE,则$∠DCE = $70°.

答案： 70°