《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

23. 为了更好治理和净化运河,保护环境,运河综合治理指挥部决定购买10台污水处理设备. 现有A,B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量如下表：
| | A型 | B型 |
| 价格/(万元/台) | a | b |
| 处理污水量/(吨/月) | 220 | 180 |
经调查,购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元,购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元.
(1)求a,b的值；
(2)由于受资金限制,运河综合治理指挥部决定购买污水处理设备的资金不超过110万元,则每月最多能处理污水多少吨？

答案：
(1)由题意,得$\left\{\begin{array}{l} a-b=2,\\ 3b-2a=6,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=12,\\ b=10.\end{array}\right. $
(2)设购买 A 型设备 x 台,每月能处理污水y t,则购买 B 型设备$(10-x)$台.由题意,得$y=220x+180(10-x)=40x+1800$.因为$40＞0$,所以 y 随 x 的增大而增大.因为$12x+10(10-x)\leqslant 110$,所以$x\leqslant 5$,所以当$x=5$时,y 取最大值,且最大值为$40×5+$$1800=2000$.故每月最多能处理污水 2000 t.

24. 如图,将长方形纸片ABCD折叠,使得点D落在边BA上的点P处,折痕经过点C,与边AD交于点Q.
(1)尺规作图：求作点P,Q；(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若$AB= CD= 5,AD= BC= 3$,求AQ的长.

答案：
(1)以点 C 为圆心,CD 为半径作弧,交 AB于点 P;连接 CP,作$\angle DCP$的平分线交 AD于点 Q,则点 P,Q 即为所求.
(2)设$AQ=x$.因为$AD=3$,所以$DQ=$$AD-AQ=3-x$.由折叠的性质,得$PQ=$$DQ=3-x$,$CP=CD=5$.因为$\angle B=90^{\circ}$,$BC=3$,所以$BP=\sqrt{CP^{2}-BC^{2}}=4$.因为$AB=5$,所以$AP=AB-BP=1$.因为$\angle A=90^{\circ}$,所以$AQ^{2}+AP^{2}=PQ^{2}$,即$x^{2}+$$1^{2}=(3-x)^{2}$,解得$x=\frac{4}{3}$,即 AQ 的长为$\frac{4}{3}$.