《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

22. (6 分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90^{\circ},AD\perp BC$,垂足为$D$.已知$BD= 3,AB= 5$,且设$CD$ 的长为$x$.
(1) 根据勾股定理,得$AC^{2}=$$16+x^{2}$;(用含$x$的代数式表示,结果需化简)
(2) 求$x$的值.
因为 $BD=3$,$CD=x$,所以 $BC=BD+CD=3+x$. 因为 $\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=5$,所以 $AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}=(3+x)^{2}-25$. 又 $AC^{2}=16+x^{2}$,所以 $(3+x)^{2}-25=16+x^{2}$,解得 $x=\frac{16}{3}$.

答案：
(1) $16+x^{2}$
(2) 因为 $BD=3$,$CD=x$,所以 $BC=BD+CD=3+x$. 因为 $\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=5$,所以 $AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}=(3+x)^{2}-25$. 又 $AC^{2}=16+x^{2}$,所以 $(3+x)^{2}-25=16+x^{2}$,解得 $x=\frac{16}{3}$.

23. (8 分)新素养 推理能力如图,$C是\angle MAN$的平分线上一点,$CE\perp AN,CF\perp AM$,垂足分别为 $E,F$,过点$C作CD// AN$,交$AM于点D$,在射线$EN上取一点B$,连接$CB$,使$\angle CBE= \angle DAE$.
(1) 求证:$DF= BE$;
(2) 若$AB= 13,AD= 5$,则$DF$的长为______4.

答案：
(1) 因为 $CE\perp AN$,$CF\perp AM$,所以 $\angle CEB=\angle CFD=90^{\circ}$. 因为 C 是 $\angle MAN$ 的平分线上一点,所以 $CF=CE$. 因为 $CD// AN$,所以 $\angle CDF=\angle DAE$. 又 $\angle CBE=\angle DAE$,所以 $\angle CDF=\angle CBE$. 在 $\triangle CDF$ 和 $\triangle CBE$ 中,$\left\{\begin{array}{l} \angle CDF=\angle CBE,\\ \angle CFD=\angle CEB,\\ CF=CE,\end{array}\right.$ 所以 $\triangle CDF\cong \triangle CBE(AAS)$,所以 $DF=BE$.
(2) 4