《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

21. (6 分)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,射线 CD 交 AB 于点 D,$AD = AC$.
(1) 作图:只用圆规在射线 CD 上作出点 E,使$∠ABE = 90^{\circ}$;(保留作图痕迹,不写作法)
(2) 在(1)的条件下,连接 BE.若$DB = 18$,$DE = 30$,求 AC 的长.

答案：
(1)以点B为圆心,BC为半径作弧，交射线CD于点E,则点E即为所求.图略.
(2)因为∠ABE=90°,DB=18,DE=30,所以BC²=BE²=DE² - DB²=576.设AD=AC=x,则AB=AD+DB=x+18,因为∠ACB=90°,所以AC²+BC²=AB²,即x²+576=(x+18)²,解得x=7,即AC 的长为7.

22. (6 分)如图,在$\triangle ABC$中,D 是 BC 的中点,$DE⊥BC$,交 AB 于点 E,且$BE^{2} - AE^{2} = AC^{2}$.
(1) 求证:$∠A = 90^{\circ}$;
(2) 若$DE = 3$,$BD = 4$,求 AE 的长.

答案：
(1)连接CE.因为D是BC的中点,DE⊥BC,所以DE垂直平分BC,所以BE=CE.因为BE² - AE²=AC²,所以CE² - AE²=AC²,所以AE²+AC²=CE²,所以△ACE 是直角三角形，且∠A=90°.
(2)设AE=x.因为DE⊥BC,所以∠BDE=90°.因为DE=3,BD=4,所以BC=2BD=8,BE=√(BD²+DE²)=5,所以AB=AE+BE=x+5,CE=BE=5.因为∠A=90°,所以AC²=CE² - AE²=25 - x².因为AB²+AC²=BC²,所以(x+5)²+25 - x²=64,解得x=7/5,即AE的长为7/5.

23. (6 分)新素养 应用意识 某路段限速标志规定:小汽车在此路段上的行驶速度不得超过 70 km/h.如图,一辆小汽车在该路段上直行,某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪正前方 30 m 的点 C 处,2 s 后,小汽车行驶到点 B 处,测得小汽车与车速检测仪间的距离为 50 m.
(1) 求 BC 的长;
(2) 这辆小汽车超速了吗?

答案：
(1)由题意，得∠ACB=90°,AC=30m,AB=50m,所以BC=√(AB² - AC²)=40m.
(2)因为BC=40m,所以小汽车的行驶速度为40÷2=20(m/s).因为20m/s=72km/h,且72＞70,所以这辆小汽车超速了.

24. (6 分)如图①,在$4×8$的网格中,每个小正方形的边长都为 1,动点 P,Q 分别从点 D,A 同时出发向右运动,点 P 的速度为每秒 1 个单位长度,点 Q 的速度为每秒 0.5 个单位长度,当点 P 运动到点 C 时,两个点都停止运动,设运动的时间为 t s.
(1) 请在图②中画出$t = 6$时的线段 PQ,并求其长度;
(2) 当 t 为何值时,$\triangle PQB$是以 BP 为底的等腰三角形?

答案：
(1)如图，线段PQ即为所求.当t=6时，DP=1×6=6,AQ=0.5×6=3.过点Q作QE⊥CD于点E,则∠PEQ=90°,QE=AD=4,DE=AQ=3,所以PE=DP - DE=3,所以PQ=√(PE²+QE²)=5.
(2)由题意,得DP=t,AQ=1/2 t,则BQ=AB - AQ=8 - 1/2 t.过点Q作QF⊥CD于点F,则∠PFQ=90°,QF=AD=4,DF=AQ=1/2 t,所以PF=DP - DF=1/2 t,所以PQ²=PF²+QF²=1/4 t²+16.当△PQB是以BP为底的等腰三角形时，PQ=BQ，所以PQ²=BQ²,即1/4 t²+16=(8 - 1/2 t)²,解得t=6.故当t=6时,△PQB是以BP为底的等腰三角形.