《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

(16分)新素养 推理能力在$\triangle ABC$中,$∠ABC= 45^{\circ }$,D 为线段 BC 上一动点(不与点 B,C 重合),连接 AD,以 AD 为直角边向左边作等腰直角三角形 DAF,使$∠DAF= 90^{\circ }$,连接 BF.
(1) 如图①,若$AB= AC$,试判断 BF 与 CD 所在直线之间的位置关系,并证明你的结论;
(2) 如图②,若$AB≠AC,AD＜AB$,(1)中结论是否成立? 为什么?

答案：
(1)BF⊥CD.证明如下:因为AB=AC,所以∠C=∠ABC=45°,所以∠BAC=180° - ∠ABC - ∠C=90°,所以∠CAD+∠BAD=90°.因为$\triangle DAF$是等腰直角三角形,∠DAF=90°,所以AD=AF,∠BAF+∠BAD=90°,所以∠BAF=∠CAD.在$\triangle BAF$和$\triangle CAD$中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAF=∠CAD,\\ AF=AD,\end{array}\right.$所以$\triangle BAF\cong\triangle CAD$(SAS),所以∠ABF=∠C=45°,所以∠CBF=∠ABC+∠ABF=90°,所以BF⊥CD.
(2)
(1)中结论成立.理由如下:过点A作AE⊥AB,交BC于点E,则∠BAE=90°,所以∠EAD+∠BAD=90°.因为∠ABC=45°,所以∠AED=90° - ∠ABC=45°,所以∠ABC=∠AED,所以AB=AE.因为$\triangle DAF$是等腰直角三角形,∠DAF=90°,所以AF=AD,∠BAF+∠BAD=90°,所以∠BAF=∠EAD.在$\triangle BAF$和$\triangle EAD$中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AE,\\ ∠BAF=∠EAD,\\ AF=AD,\end{array}\right.$所以$\triangle BAF\cong\triangle EAD$(SAS),所以∠ABF=∠AED=45°,所以∠CBF=∠ABC+∠ABF=90°,所以BF⊥CD.

(1) 如图①,在锐角三角形 ABC 中,$∠BAC= 25^{\circ },∠ABC= 75^{\circ }$.若存在线段 BD 是$\triangle ABC$的“黄金线”,则其中钝角等腰三角形顶角的度数是130°;
(2) 如图②,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠A= 30^{\circ }$,O 是 AB 的中点,过点 C 作$∠BCD= 40^{\circ }$,交 AB 的延长线于点 D,边 CD 上的一点 E 恰好在 OD 的垂直平分线上.求证:线段 OC,OE 是$\triangle ACD$的“钻石线”;
因为∠ACB=90°,O是AB的中点,所以OC=OA=OB=$\frac{1}{2}AB$.因为∠A=30°,所以∠ABC=90° - ∠A=60°,所以$\triangle OBC$是等边三角形,所以∠BOC=60°.因为∠BCD=40°,所以∠D=∠ABC - ∠BCD=20°.因为点E在OD的垂直平分线上,所以OE=DE,所以∠EOD=∠D=20°,所以∠COE=∠BOC - ∠EOD=40°,∠CEO=∠EOD+∠D=40°,所以∠COE=∠CEO,所以$\triangle AOC$,$\triangle OCE$,$\triangle ODE$都是等腰三角形,所以线段OC,OE是$\triangle ACD$的“钻石线”.
(3) 若一个等腰三角形有“黄金线”,则该等腰三角形底角的度数是72°或$(\frac{540}{7})°$或36°或45°.

答案：
(1)130°
(2)因为∠ACB=90°,O是AB的中点,所以OC=OA=OB=$\frac{1}{2}AB$.因为∠A=30°,所以∠ABC=90° - ∠A=60°,所以$\triangle OBC$是等边三角形,所以∠BOC=60°.因为∠BCD=40°,所以∠D=∠ABC - ∠BCD=20°.因为点E在OD的垂直平分线上,所以OE=DE,所以∠EOD=∠D=20°,所以∠COE=∠BOC - ∠EOD=40°,∠CEO=∠EOD+∠D=40°,所以∠COE=∠CEO,所以$\triangle AOC$,$\triangle OCE$,$\triangle ODE$都是等腰三角形,所以线段OC,OE是$\triangle ACD$的“钻石线”.
(3)72°或$(\frac{540}{7})°$或36°或45°