《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

7. 亮点原创·已知直角三角形的两条直角边长分别是整数$a$,$b$(其中$b＜100$),斜边长是$b + 1$,则这样的直角三角形的个数为 (C)
A.4
B.5
C.6
D.7

答案： C 解析:由题意,得$a^{2}+b^{2}=(b+1)^{2}$.整理,得$a^{2}=2b+1$.因为$2b+1$为奇数,所以$a$为奇数.因为$0 ＜ b ＜ 100$,所以$1 ＜ 2b+1 ＜ 201$,所以$1 ＜ a^{2} ＜ 201$.因为$196 ＜ 201 ＜ 225$,所以$\sqrt{196} ＜ \sqrt{201} ＜ \sqrt{225}$,即$14 ＜ \sqrt{201} ＜ 15$,所以$a$可取3,5,7,9,11,13,所以满足题意的直角三角形的个数为6.

8. (2025·江苏盐城期末)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AB = AC$,点$M$,$N在边BC$上,且$\angle MAN = 60^{\circ}$.若$BM = 2$,$CN = 3$,则$MN$的长为 (A)
A.$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{11}$
D.$\sqrt{13}$

答案： A 解析:因为$\angle BAC=120^{\circ}$,$AB=AC$,所以$\angle ABC=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)=30^{\circ}$.如图，将$\triangle ACN$绕点$A$顺时针旋转$120^{\circ}$得到$\triangle ABP$,过点$P$作$PH\perp BC$于点$H$,连接$MP$,则$\angle PHB=\angle PHM=90^{\circ}$,$AP=AN$,$BP=CN=3$,$\angle ABP=\angle C=30^{\circ}$,$\angle BAP=\angle CAN$,所以$\angle PBM=\angle ABC+\angle ABP=60^{\circ}$,所以$\angle BPH=90^{\circ}-\angle PBM=30^{\circ}$,所以$BH=\frac{1}{2}BP=\frac{3}{2}$,所以$PH^{2}=BP^{2}-BH^{2}=\frac{27}{4}$.因为$BM=2$,所以$HM=BM - BH=\frac{1}{2}$,所以$MP=\sqrt{PH^{2}+HM^{2}}=\sqrt{7}$.因为$\angle MAN=60^{\circ}$,所以$\angle BAM+\angle CAN=\angle BAC-\angle MAN=60^{\circ}$,所以$\angle BAM+\angle BAP=60^{\circ}$,所以$\angle MAP=60^{\circ}$,所以$\angle MAN=\angle MAP$.在$\triangle AMN$和$\triangle AMP$中,$\begin{cases}AM = AM\\\angle MAN = \angle MAP\\AN = AP\end{cases}$所以$\triangle AMN\cong\triangle AMP(SAS)$,所以$MN=MP=\sqrt{7}$.

9. 亮点原创·据某平台数据统计,2025年春节档电影总票房约为95.10亿元,这个近似数精确到百万位.

答案： 百万

10. (2024·山东日照)计算:$\vert\sqrt{2}-2\vert+\sqrt{2}-2024^{0}= $1.

答案： 1

11. 新趋势开放探究(2024·广东深圳)如图,$A$,$B$,$C$均为正方形.若$A$的面积为10,$C$的面积为1,则$B$的边长可以为______2.(写出一个即可)

答案： (答案不唯一)2

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD$是角平分线.若$AC = 6$,$AD = 7$,则点$D到直线AB$的距离是$\sqrt{13}$.

答案： $\sqrt{13}$

13. 为了比较$\sqrt{5}+1与\sqrt{10}$的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 3$,点$D在BC$上,且$BD = AC = 1$,通过计算可得$\sqrt{5}+1$$＞$$\sqrt{10}$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)

答案： $＞$

14. 若直角三角形的两直角边长$a$,$b满足\sqrt{a - 8}+b^{2}-12b + 36 = 0$,则该直角三角形斜边上的中线长为5.

答案： 5

15. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD$为中线,延长$AD到点E$,使得$ED = AD$,连接$EB$.若$AB = 5$,$AC = 3$,$AD = 2$,则$\triangle ABC$的面积为6.

答案： 6

16. 观察下列几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;….按此规律,当直角三角形的较短直角边长是11时,较长直角边长是60;当直角三角形的较短直角边长是$2n + 1$($n$为正整数)时,较长直角边长是$2n^{2}+2n$(用含$n$的代数式表示).

答案： 60 $2n^{2}+2n$

17. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle B= \angle D = 90^{\circ}$,$AD = CD$,$AB + BC = 8$,则四边形$ABCD$的面积是______.

16

答案： 16 解析:连接$AC$.设$AB=a$,$BC=b$,$AD=CD=c$.因为$AB+BC=8$,所以$a+b=8$.因为$\angle B=\angle D=90^{\circ}$,所以$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$,$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$,所以$AB^{2}+BC^{2}=2AD^{2}$,所以$a^{2}+b^{2}=2c^{2}$.因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}ab$,$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AD\cdot CD=\frac{1}{2}c^{2}$,所以$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{4}(2ab+2c^{2})=\frac{1}{4}(2ab+a^{2}+b^{2})=\frac{1}{4}(a+b)^{2}=16$.故四边形$ABCD$的面积是16.