《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

22. (6分)新素养推理能力如图,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$AB= AC,AB⊥AC,AD⊥AE$,且$∠ABD= ∠ACE$.求证:
(1)$\triangle ABD\cong \triangle ACE$;
(2)$∠ADE= ∠AED$.

答案：
(1)因为 AB⊥AC,AD⊥AE,所以∠BAC=∠DAE=90°,所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,所以∠BAD=∠CAE.在△ABD 和△ACE 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BAD=∠CAE,\\ AB=AC,\\ ∠ABD=∠ACE,\end{array}\right. $所以△ABD≌△ACE(ASA).
(2)因为△ABD≌△ACE,所以 AD=AE,所以∠ADE=∠AED.

23. (6分)如图,在直角三角形ABC中,$∠C= 90^{\circ }$.
(1) 作$∠ABC$的平分线交AC于点D,过点D作AB的垂线交AB于点E;(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2) 若$\triangle ADE$的周长为10,$BC= 4$,求$\triangle ABC$的周长.

答案：
(1)图略.
(2)因为 BD 平分∠ABC,所以∠DBE=∠DBC.因为 DE⊥AB,所以∠DEB=90°.因为∠C=90°,所以∠DEB=∠C.在△BDE和△BDC 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DEB=∠C,\\ ∠DBE=∠DBC,\\ BD=BD,\end{array}\right. $所以△BDE≌△BDC(AAS),所以 BE=BC,DE=DC,所以$C_{\triangle ABC}=AB+AC+BC=AE+BE+AD+DC+BC=AE+BE+AD+DE+BC=(AE+AD+DE)+2BC$.因为$C_{\triangle ADE}=AE+AD+DE=10$,BC=4,所以$C_{\triangle ABC}=10+2×4=18$.故△ABC 的周长为 18.

24. (6分)(2025·江苏南京期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,\triangle ABE和\triangle ACD$分别是以BE,CD为底的等腰直角三角形,BE与CD相交于点F,连接BD,CE.
(1) 求证:$∠FBC= ∠FCB$;
(2) 连接AF,求证:$AF⊥BC$.

答案：
(1)因为 AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为△ABE 和△ACD 分别是以 BE,CD 为底的等腰直角三角形,所以∠BAE=∠CAD=90°,AB=AE,AC=AD,所以$∠ABE=∠AEB=\frac{1}{2}(180°-∠BAE)=45°$,$∠ACD=∠ADC=\frac{1}{2}(180°-∠CAD)=45°$,所以∠ABE=∠ACD,所以∠ABE-∠ABC=∠ACD-∠ACB,所以∠FBC=∠FCB.
(2)因为∠FBC=∠FCB,所以 BF=CF,所以点 F 在 BC 的垂直平分线上.因为AB=AC,所以点 A 在 BC 的垂直平分线上,所以 AF 垂直平分 BC,即 AF⊥BC.