《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

25. (8分)如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 7\mathrm{cm}$,$BC= 3\mathrm{cm}$,$CD$是高,点$E从点B$出发,沿直线$BC以2\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度运动,过点$E作BC的垂线交直线CD于点F$.
(1) 求证:$\angle A= \angle BCD$;
(2) 当点$E$运动多长时间时,$CF= AB$?请说明理由.

答案：
(1)因为CD是△ABC的高,所以CD⊥AB,所以∠ADC=90°,所以∠A+∠ACD=90°.因为∠ACB=90°,所以∠BCD+∠ACD=90°,所以∠A=∠BCD.
(2)因为EF⊥BC,所以∠CEF=90°.因为∠ACB=90°,所以∠CEF=∠ACB.若CF=AB,则分类讨论如下:① 如图①,当点E在射线BC上运动时,因为∠A=∠BCD,∠BCD=∠ECF,所以∠ECF=∠A.在△CFE和△ABC中,∠CEF=∠ACB,∠ECF=∠A,CF=AB,所以△CFE≌△ABC(AAS),所以CE=AC=7 cm.因为BC=3 cm,所以BE=BC+CE=10 cm,所以点E运动了10÷2=5(s);② 如图②,当点E在射线CB上运动时,在△CFE和△ABC中,∠CEF=∠ACB,∠ECF=∠A,CF=AB,所以△CFE≌△ABC(AAS),所以CE=AC=7 cm,所以BE=CE-BC=4 cm,所以点E运动了4÷2=2(s).综上所述,当点E在射线BC上运动5 s或在射线CB上运动2 s时,CF=AB.

26. (8分)新趋势 推导探究 数学课上,张老师讲解了下面的例题:
例1 在等腰三角形$ABC$中,$\angle A= 110^{\circ}$,求$\angle B$的度数.(答案:$35^{\circ}$)
例2 在等腰三角形$ABC$中,$\angle A= 40^{\circ}$,求$\angle B$的度数.(答案:$40^{\circ}或70^{\circ}或100^{\circ}$)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式 在等腰三角形$ABC$中,$\angle A= 80^{\circ}$,求$\angle B$的度数.
(1) 请你解答以上的变式题;
(2) 解(1)后,小敏发现,$\angle A$的度数不同,得到$\angle B$的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形$ABC$中,设$\angle A= x^{\circ}$,那么当$\angle B$有三个不同的度数时,请你探索$x$的取值范围.

答案：
(1)当∠A为顶角时,∠B=$\frac{1}{2}$×(180°-80°)=50°;当∠A为底角时,若∠B为底角,则∠B=80°,若∠B为顶角,则∠B=180°-80°×2=20°.综上所述,∠B的度数为50°或80°或20°.
(2)当90≤x＜180时,∠A只能为顶角,则∠B的度数只有一个,不合题意,所以0＜x＜90.当∠A为顶角时,∠B=$\frac{1}{2}$×(180-x)°=(90-$\frac{1}{2}$x)°;当∠A为底角时,若∠B为底角,则∠B=x°,若∠B为顶角,则∠B=(180-2x)°.当∠B有三个不同的度数时,90-$\frac{1}{2}$x≠x,90-$\frac{1}{2}$x≠180-2x且x≠180-2x,所以x≠60.又0＜x＜90,所以x的取值范围为0＜x＜60或60＜x＜90.

27. (8分)新素养 应用意识 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= \angle C$,$AB= AC= 10\mathrm{cm}$,$BC= 8\mathrm{cm}$,$D为AB$的中点.
(1) 点$P在线段BC上以3\mathrm{cm}/\mathrm{s}的速度由点B向点C$运动,同时点$Q在线段CA上由点C向点A$运动.
① 若点$Q与点P$的速度相同,则经过$1\mathrm{s}$后,$\triangle BPD与\triangle CQP$是否全等?请说明理由;
② 若点$Q与点P$的速度不相同,则当点$Q$的速度为多少时,能够使$\triangle BPD与\triangle CQP$全等?
(2) 若点$Q$以(1)②中的速度从点$C$出发,点$P以原来的速度从点B$同时出发,都逆时针沿$\triangle ABC$三边运动,则经过多长时间,点$P与点Q$第一次相遇?相遇时是在$\triangle ABC$的哪条边上?

答案：
(1)① △BPD与△CQP全等.理由如下:由题意,得BP=CQ=3×1=3(cm).因为AB=10 cm,D为AB的中点,所以BD=$\frac{1}{2}$AB=5 cm.因为BC=8 cm,所以CP=BC-BP=5 cm,所以BD=CP.在△BPD和△CQP中,BD=CP,∠B=∠C,BP=CQ,所以△BPD≌△CQP(SAS). ② 因为vP≠vQ,所以BP≠CQ.因为∠B=∠C,所以若△BPD与△CQP全等,则只能是△BPD≌△CPQ,所以BP=CP且BD=CQ.设点Qの速度为x cm/s,运动的时间为t s,则3t=8-3t,xt=5,解得t=$\frac{4}{3}$,x=$\frac{15}{4}$.故当点Q的速度为$\frac{15}{4}$ cm/s时,能够使△BPD与△CQP全等.
(2)设经过y s点P与点Q第一次相遇.由题意,得$\frac{15}{4}$y=3y+2×10,解得y=$\frac{80}{3}$,所以点P共运动了$\frac{80}{3}$×3=80(cm).因为△ABC的周长为10+10+8=28(cm),80=28×2+24,且18＜24＜28,所以点P与点Q在边AB上相遇.故经过$\frac{80}{3}$ s,点P与点Q第一次相遇,且相遇时是在△ABC的边AB上.