《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

12. (16分)定义:对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当$x＜0$时,它们对应的函数值互为相反数;当$x≥0$时,它们对应的函数值相等.我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:一次函数$y= x-1$,它的相关函数为$y= \left\{\begin{array}{l} -x+1(x＜0),\\ x-1(x≥0).\end{array} \right. $
(1) 已知点$A(-2,5)在一次函数y= ax-3$的相关函数的图象上,求a的值;
(2) 已知一次函数$y= -2x+3.$
① 若点$B(t,-4)$在该函数的相关函数的图象上,求t的值;
② 当$-1≤x≤2$时,求函数$y= -2x+3$的相关函数的最大值和最小值.

答案：
(1) 由题意,得一次函数 y = ax - 3 的相关函数为 y = $\begin{cases}-ax + 3(x ＜ 0)\\ax - 3(x \geq 0)\end{cases}$.因为点 A(-2,5)在该相关函数的图象上,所以点 A 在函数 y = -ax + 3(x ＜ 0)的图象上,所以 2a + 3 = 5,解得 a = 1.
(2) ① 由题意,得一次函数 y = -2x + 3 的相关函数为 y = $\begin{cases}2x - 3(x ＜ 0)\\-2x + 3(x \geq 0)\end{cases}$.因为点 B(t,-4)在该相关函数的图象上,所以分类讨论如下:当 t ＜ 0 时,点 B 在函数 y = 2x - 3(x ＜ 0)的图象上,所以 2t - 3 = -4,解得 t = -$\frac{1}{2}$;当 t ≥ 0 时,点 B 在函数 y = -2x + 3(x ≥ 0)的图象上,所以 -2t + 3 = -4,解得 t = $\frac{7}{2}$.综上所述,t 的值为 -$\frac{1}{2}$或$\frac{7}{2}$.
② 在 y = 2x - 3 中,令 x = -1,得 y = 2×(-1) - 3 = -5;令 x = 0,得 y = -3.在 y = -2x + 3 中,令 x = 0,得 y = 3;令 x = 2,得 y = -2×2 + 3 = -1.当 -1 ≤ x ＜ 0 时,y 随 x 的增大而增大,所以 -5 ≤ y ＜ -3.当 0 ≤ x ≤ 2 时,y 随 x 的增大而减小,所以 -1 ≤ y ≤ 3.综上所述,当 -1 ≤ x ≤ 2 时,函数 y = -2x + 3 的相关函数的最大值为 3,最小值为 -5.

13. (18分)新素养 几何直观(2025·江苏镇江期末)折纸,常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如,在$△ABC$中,$AB＞AC$(如图①),怎样证明$∠C＞∠B$呢? 把AC沿$∠BAC$的平分线AD翻折,因为$AB＞AC$,所以点C落在AB上的点$C'$处(如图②).于是,由$∠AC'D= $$∠C,∠AC'D＞∠B$,可得$∠C＞∠B$.利用上述方法(或者思路)解决下列问题:
(1) 如图②,在上述阅读材料中,若$∠B= 45^{\circ },∠C= 60^{\circ }$,则$∠C'DB$的度数为______;
(2) 如图③,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,AD平分$∠BAC$,交BC于点D.若$CD= m,AB= n,求△ABD$的面积;(用含m,n的代数式表示)
(3) 如图④,在$△ABC$中,$AD⊥BC$于点D,$CD= AB+BD$.若$∠C= 24^{\circ }$,求$∠BAC$的度数.

答案：

(1) 15°
(2) 如图①,把 AC 沿∠BAC 的平分线 AD 翻折,因为 AB ＞ AC,所以点 C 落在 AB 上的点$C'$处.由折叠的性质,得$C'D$ = CD = m,∠$AC'D$ = ∠ACB = 90°,所以$C'D$⊥AB.因为 AB = n,所以$S_{\triangle ABD}$ = $\frac{1}{2}$AB·$C'D$ = $\frac{1}{2}$mn.故△ABD 的面积为$\frac{1}{2}$mn.

(3) 如图②,将 AB 沿 AD 翻折,点 B 落在 BC 上的点$B'$处,则由折叠的性质,得$AB'$ = AB,$B'D$ = BD,所以∠B = ∠$AB'B$.因为 CD = AB + BD,所以 CD = $AB'$ + $B'D$.又 CD = $CB'$ + $B'D$,所以$AB'$ = $CB'$,所以∠$B'AC$ = ∠C = 24°,所以∠B = ∠$AB'B$ = ∠$B'AC$ + ∠C = 48°,所以∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 108°.