《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

27. (8 分)新素养 推理能力 在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,D 为 AB 的中点,过点 D 作$DE⊥DF$,点 E,F 分别在边 CA,CB 上,连接 EF.
(1) 如图①,若$CA = CB$,求证:$AE^{2} + BF^{2} = EF^{2}$;
(2) 如图②,若$CA ＜ CB$,(1)中的结论还成立吗? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

答案：
(1)如图①,过点A作AM//CB,交FD的延长线于点M,连接EM,则∠MAD=∠B,∠MAE+∠ACB=180°.因为∠ACB=90°,所以∠MAE=180° - ∠ACB=90°.因为D为AB的中点，所以AD=BD.在△ADM和△BDF中,{∠MAD=∠B,AD=BD,∠ADM=∠BDF},所以△ADM≌△BDF(ASA),所以AM=BF,MD=FD.因为DE⊥DF,所以DE垂直平分FM,所以EF=EM,所以AE²+BF²=AE²+AM²=EM²=EF².
(2)成立.证明如下:如图②,延长FD至点N,使DN=DF,连接AN,EN.因为D为AB的中点,所以AD=BD.在△ADN和△BDF中,{AD=BD,∠ADN=∠BDF,DN=DF},所以△ADN≌△BDF(SAS),所以AN=BF,∠NAD=∠B,所以AN//BC,所以∠NAE+∠ACB=180°.因为∠ACB=90°,所以∠NAE=180° - ∠ACB=90°.因为DE⊥DF,所以DE垂直平分FN,所以EF=EN,所以AE²+BF²=AE²+AN²=EN²=EF².

28. (8 分)新素养 几何直观 在四边形 ABCD 中,$∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90^{\circ}$,$AB = CD = 10$,$BC = AD = 8$.
(1) P 为边 BC 上一点,将$\triangle ABP$沿直线 AP 翻折至$\triangle AEP$的位置(点 B 落在点 E 处).
① 当点 E 落在边 CD 上时,利用尺规作图,在图①中作出满足条件的图形(保留作图痕迹,不写作法),并直接写出此时$DE = $6;
② 如图②,若 P 为 BC 的中点,连接 CE,则 CE 与 AP 之间有何位置关系? 请说明理由;
(2) 已知 Q 为射线 DC 上的一个动点,将$\triangle ADQ$沿直线 AQ 翻折,点 D 恰好落在直线 BQ 上的点$D'$处,求 DQ 的长.

答案：
(1)①以点A为圆心,AB为半径作弧,交CD于点E;连接AE,作∠BAE的平分线交BC于点P，连接EP,则△AEP即为所求.图略.
②CE//AP.理由如下:由折叠的性质,得∠APB=∠APE,PB=PE.因为P为BC 的中点,所以PB=PC,所以PE=PC,所以∠PEC=∠PCE.因为∠APB+∠APE+∠EPC=180°,∠PEC+∠PCE+∠EPC=180°,所以2∠APE+∠EPC=180°,2∠PEC+∠EPC=180°,所以∠APE=∠PEC,所以CE//AP.
(2)设DQ=x.分类讨论如下:如图①,当点Q 在点C左侧时,CQ=CD - DQ=10 - x.由折叠的性质,得∠AD'Q=∠D=90°,D'Q=DQ=x,AD'=AD=8.因为∠AD'B=180° - ∠AD'Q=90°,AB=10,所以BD'=√(AB² - AD'²)=6,所以BQ=BD'+D'Q=6+x.因为∠BCD=90°,所以CQ²+BC²=BQ²,即(10 - x)²+8²=(x+6)²,解得x=4,即DQ=4;如图②,当点Q在点C右侧时,CQ=DQ - CD=x - 10,AD'=8,D'Q=x,BD'=6,所以BQ=D'Q - BD'=x - 6.因为∠BCQ=180° - ∠BCD=90°,所以BC²+CQ²=BQ²,即8²+(x - 10)²=(x - 6)²,解得x=16,即DQ=16.综上所述,DQ的长为4或16.