《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

7. (10分)已知在长方形$ABCD$中,$AD = 10cm,AB = 6cm$,点$M在边CD上由点C向点D$运动,速度为$1cm/s$,运动的时间为$t s$.将$\triangle ADM沿着AM翻折至\triangle AD'M$,点$D的对应点为D',AD'所在直线与边BC交于点P$.
(1) 如图①,当$t = 0$时,求证:$PA = PC$;
(2) 如图②,当点$D'恰好落在边BC$上时,求$t$的值;
(3) 如图③,当$t = 3$时,求$CP$的长.

答案：
(1) 由折叠的性质,得$∠D'AC = ∠DAC$.因为四边形 ABCD 为长方形,所以$AD// BC$,所以$∠DAC = ∠ACP$,所以$∠D'AC = ∠ACP$,所以 PA = PC.
(2) 因为四边形 ABCD 为长方形,所以 CD = AB = 6 cm,BC = AD = 10 cm,$∠B = ∠C = 90^{\circ}$.因为 CM = t cm,所以 DM = CD - CM = (6 - t)cm.由折叠的性质,得$AD' = AD = 10 cm$,$D'M = DM = (6 - t)cm$.因为$BD'=\sqrt{AD'^{2}-AB^{2}}=8 cm$,所以$D'C = BC - BD' = 2 cm$.因为$CM^{2}+D'C^{2}=D'M^{2}$,所以$t^{2}+2^{2}=(6 - t)^{2}$,解得$t=\frac{8}{3}$.
(3) 连接 MP.当 t = 3 时,CM = 3 cm,所以 DM = CD - CM = 3 cm.设 CP = a cm,则 BP = BC - CP = (10 - a)cm.由折叠的性质,得$∠AD'M = ∠D = 90^{\circ}$,$AD' = AD = 10 cm$,$D'M = DM = 3 cm$,所以$∠MD'P = 180^{\circ}-∠AD'M = 90^{\circ}$,$D'M = CM$.在 Rt△MD'P 和 Rt△MCP 中,$\left\{\begin{array}{l} MP = MP,\\ D'M = CM,\end{array}\right.$所以 Rt△MD'P≌Rt△MCP(HL),所以$D'P = CP = a cm$,所以$AP = AD'+D'P = (10 + a)cm$.因为$∠B = 90^{\circ}$,所以$AB^{2}+BP^{2}=AP^{2}$,即$6^{2}+(10 - a)^{2}=(10 + a)^{2}$,解得$a=\frac{9}{10}$.故 CP 的长为$\frac{9}{10}cm$.

8. (10分)新趋势 推导探究 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ},AC = 8cm,BC = 6cm$,动点$P从点C$出发,按$C\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C$的路径运动,且速度为$2cm/s$,设运动的时间为$t s$.
(1) 当$t$为何值时,$CP把\triangle ABC$的周长分成相等的两部分?
(2) 当$t$为何值时,$CP把\triangle ABC$的面积分成相等的两部分? 求出此时$CP$的长;
(3) 当$t$为何值时,$\triangle BCP$为等腰三角形?

答案：
(1) 因为$∠C = 90^{\circ}$,AC = 8 cm,BC = 6 cm,所以 AB = 10 cm,所以$C_{\triangle ABC}=AB + AC + BC = 24 cm$.当 CP把△ABC 的周长分成相等的两部分时,点 P 在 AB 上,此时$AC + AP=\frac{1}{2}C_{\triangle ABC}=12 cm$,所以$t = 12÷2 = 6$.故当 t 的值为 6 时,CP 把△ABC 的周长分成相等的两部分.
(2) 当 P 为 AB 的中点时,CP 把△ABC 的面积分成相等的两部分,此时$CP = AP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10 = 5(cm)$,则$AC + AP = 8 + 5 = 13(cm)$,所以$t = 13÷2 = 6.5$.故当 t 的值为 6.5 时,CP 把△ABC 的面积分成相等的两部分,此时 CP 的长为 5 cm.
(3) 当△BCP 为等腰三角形时,分类讨论如下:① 若 CP = BC = 6 cm,则当点 P 在 AC 上时,$t = 6÷2 = 3$;当点 P 在 AB 上时,过点 C 作$CD⊥AB$于点 D,则$∠BDC = 90^{\circ}$,$BD = PD=\frac{1}{2}BP$.因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{2}AB·CD$,所以$CD=\frac{6×8}{10}=4.8(cm)$,所以$BD=\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}=3.6 cm$,所以 BP = 2BD = 7.2 cm.因为 AB = 10 cm,所以 AP = AB - BP = 2.8 cm,所以$t=(8 + 2.8)÷2 = 5.4$;② 若 BP = BC = 6 cm,则点 P 在 AB 上,所以 AP = AB - BP = 4 cm,所以$t=(8 + 4)÷2 = 6$;③ 若 BP = CP,则点 P 在线段 BC 的垂直平分线上,易知此时 P 为 AB 的中点,则由
(2),得 t = 6.5.综上所述,当 t 的值为 3 或 5.4 或 6 或 6.5 时,△BCP 为等腰三角形.