《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

15. 在等腰三角形ABC中,$BD⊥AC$,垂足为D,且$BD = \frac{1}{2}AC$,则等腰三角形ABC底角的度数为45°或75°或15°.

答案： 45°或75°或15°

16. 亮点原创 如图,$△ABC$是等边三角形,D是BC延长线上一点,$DE⊥AB$于点E,$EF⊥BC$于点F.若$CD = 3AE$,$AC = 5$,则$CF = $3.

答案： 3

17. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB = 90°$,$AB = 5cm$,$BC = 4cm$.动点D从点A出发,以1cm/s的速度沿射线AC运动.设运动的时间为t s,则当$t = $5或6或$\frac{25}{6}$时,$△ABD$为等腰三角形.

答案： 5或6或$\frac{25}{6}$　解析:因为∠ACB = 90°,AB = 5cm,BC = 4cm,所以AC = $\sqrt{AB^2 - BC^2}$ = 3cm.由题意，得AD = tcm.当△ABD为等腰三角形时，分类讨论如下:①当AD = AB = 5cm时,t = 5;②当BD = AB时,因为BC⊥AD,所以AD = 2AC = 6cm,所以t = 6;③当BD = AD = tcm时,CD = AD - AC = (t - 3)cm.因为∠BCD = 180° - ∠ACB = 90°,所以BC² + CD² = BD²,即4² + (t - 3)² = t²,解得t = $\frac{25}{6}$.综上所述，当t = 5或6或$\frac{25}{6}$时，△ABD为等腰三角形.

18. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB = 90°$,角平分线AE与中线BD交于点F,P为CE的中点,连接PF.若$CP = 2$,$S_{△BFP} = 15$,则AB的长为______.

答案：
15　解析:如图,过点E作EG⊥AB于点G,连接CF.因为P为CE的中点,CP = 2,所以CE = 2CP = 4,S△EFP = S△CFP.设S△EFP = S△CFP = y.因为BD是△ABC的中线,所以S△BCD = $\frac{1}{2}$S△ABC,S△CDF = S△AFD.设S△CDF = S△AFD = z.因为S△BFP = 15,所以S△BCD = S△BFP + S△CFP + S△CDF = 15 + y + z,所以S△ABC = 2S△BCD = 30 + 2y + 2z.因为S△ACE = S△EFP + S△CFP + S△CDF + S△ADF = 2y + 2z,所以S△ABE = S△ABC - S△ACE = 30.因为AE是△ABC的角平分线,所以EG = CE = 4.因为S△ABE = $\frac{1}{2}$AB·EG,所以AB = $\frac{30×2}{4}$ = 15.

19. (6分)新素养 几何直观 如图,已知$△ABC(AC ＜ AB ＜ BC)$,请用无刻度的直尺和圆规,完成下列作图：(保留作图痕迹,不写作法)
(1) 在边AB上找一点M,使得点M到AC,BC的距离相等；
(2) 在边BC上找一点N,使得$NA + NB = BC$.

答案：
(1)作∠ACB的平分线,交AB于点M,则点M即为所求.图略.
(2)作线段AC的垂直平分线,交BC于点N,则点N即为所求.图略.

20. (4分)如图,在$△ABC$中,$∠C = 90°$,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E.若$∠CAB = ∠B + 30°$,求$∠AEB$的度数.

答案： 因为∠C = 90°,所以∠CAB + ∠B = 90°.因为∠CAB = ∠B + 30°,所以2∠B + 30° = 90°,所以∠B = 30°.因为DE垂直平分AB,所以AE = BE,所以∠BAE = ∠B = = 30°,所以∠AEB = 180° - ∠B - ∠BAE = 120°.

21. (6分)如图,在四边形ABCD中,$AB// CD$,$∠ABC$的平分线交CD的延长线于点E,F是BE的中点,连接CF并延长,交AD于点G.
(1) 求证：CG平分$∠BCD$；
(2) 若$∠ADE = 120°$,$∠ABC = 52°$,求$∠CGD$的度数.

答案：
(1)因为BE平分∠ABC,所以∠ABE = ∠CBE = $\frac{1}{2}$∠ABC.因为AB//CD,所以∠ABE = ∠E,所以∠CBE = ∠E,所以BC = CE.因为F是BE的中点,所以CG平分∠BCD.
(2)因为AB//CD,所以∠ABC + ∠BCD = 180°.因为∠ABC = 52°,所以∠BCD = 180° - ∠ABC = 128°.因为CG平分∠BCD,所以∠GCD = $\frac{1}{2}$∠BCD = 64°.因为∠ADE = 120°,所以∠CGD = ∠ADE - ∠GCD = 56°.