《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

25. (6 分)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠B = 90^{\circ}$,$AB = 3$cm,$BC = 4$cm,点 D 在边 AC 上,$AD = 1$cm.点 P 从点 A 出发,沿 AB 匀速运动;点 Q 从点 C 出发,沿$C→B→A→C$的路径匀速运动.两点同时出发,在点 B 处首次相遇后,点 P 的速度每秒提高了 2 cm,并沿$B→C→A$的路径匀速运动;点 Q 的速度保持不变,并继续沿原路径匀速运动,两点在点 D 处再次相遇后停止运动.设点 P 原来的速度为 x cm/s.
(1) 点 Q 的速度为______$\frac{4}{3}x$cm/s;(用含 x 的代数式表示)
(2) 求点 P 原来的速度.因为∠B=90°,AB=3cm,BC=4cm,所以AC=√(AB²+BC²)=5cm.因为AD=1cm,所以CD=AC - AD=4cm.因为点P,Q从首次相遇到再次相遇，点P运动的路程为BC+CD=8cm,点Q运动的路程为AB+AD=4cm,所以点P运动的路程为点Q运动路程的2倍，所以点P后来的速度为点Q速度的2倍,所以x+2=2×4/3 x,解得x=1.2,即点P原来的速度为1.2cm/s.

答案：
(1)4/3 x
(2)因为∠B=90°,AB=3cm,BC=4cm,所以AC=√(AB²+BC²)=5cm.因为AD=1cm,所以CD=AC - AD=4cm.因为点P,Q从首次相遇到再次相遇，点P运动的路程为BC+CD=8cm,点Q运动的路程为AB+AD=4cm,所以点P运动的路程为点Q运动路程的2倍，所以点P后来的速度为点Q速度的2倍,所以x+2=2×4/3 x,解得x=1.2,即点P原来的速度为1.2cm/s.

26. (8 分)新趋势 开放探究 (2025·江苏镇江期末)如图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为 a,b($a ＜ b$),斜边长为 c,图②是以 c 为直角边长的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
(1) 画出拼成的这个图形的示意图,并指出它是什么图形;
(2) 利用这个图形证明勾股定理;
(3) 假设图①中的直角三角形有若干个,你能仅用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗? 请画出拼后的示意图并证明.

答案：
(1)如图，这是一个直角梯形.
(2)根据梯形的面积公式可知梯形的面积S=1/2(a + b)(a + b)=1/2(a²+2ab + b²)=1/2 a²+1/2 b²+ab.又梯形的面积等于三个小三角形面积的和,即S=1/2ab+1/2ab+1/2c²=ab+1/2c²,所以1/2 a²+1/2 b²+ab=ab+1/2c²,所以a²+b²=c².
(3)(答案不唯一)如图，用4个题图①中的直角三角形拼成一个大正方形.证明:设大正方形的面积为S.由图可知大正方形的边长为c,所以S=c².又大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与1个边长为b - a 的小正方形面积的和,所以S=4×1/2ab+(b - a)²=2ab+b²+a² - 2ab=a²+b²,所以a²+b²=c².