《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

4. (5分)一艘轮船以$30km/h$的速度离开港口,向东南方向航行,另一艘轮船同时离开港口,以$40km/h$的速度沿直线航行,它们离开港口$1.5h后相距75km$,求第二艘轮船的航行方向.

答案：
由题意,得第一艘轮船的航行路程为$30×1.5 = 45(km)$,第二艘轮船的航行路程为$40×1.5 = 60(km)$.如图,设港口为点 O,第一艘轮船现在的位置为点 A,第二艘轮船现在的位置为点 B,则 OA = 45 km,OB = 60 km.因为两艘轮船相距 75 km,所以 AB = 75 km.因为$OA^{2}+OB^{2}=AB^{2}$,所以△OAB 是直角三角形,且$∠AOB = 90^{\circ}$.因为第一艘轮船的航行方向为东南方向,所以第二艘轮船的航行方向为东北方向或西南方向.

5. (6分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ},BA = BC,D为AC$的中点,过点$D作DE\perp DF$,点$E,F分别在边BA,BC$上,连接$EF$.若$AE = 4,FC = 3$,求$EF$的长.

答案： 连接 BD.因为$∠ABC = 90^{\circ}$,BA = BC,所以$∠A = ∠C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠ABC)=45^{\circ}$.因为 D 为 AC 的中点,所以$BD = CD=\frac{1}{2}AC$,$∠EBD=\frac{1}{2}∠ABC = 45^{\circ}$,$BD⊥AC$,所以$∠EBD = ∠C$,$∠BDC = 90^{\circ}$,所以$∠FDC + ∠BDF = 90^{\circ}$.因为$DE⊥DF$,所以$∠EDF = 90^{\circ}$,所以$∠EDB + ∠BDF = 90^{\circ}$,所以$∠EDB = ∠FDC$.在△EDB 和△FDC 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠EBD = ∠C,\\ BD = CD,\\ ∠EDB = ∠FDC,\end{array}\right.$所以△EDB≌△FDC(ASA),所以 EB = FC = 3.因为 AE =4,所以 BC = BA = AE + EB = 7,所以 BF = BC - FC = 4,所以$EF=\sqrt{EB^{2}+BF^{2}}=5$.

6. (8分)新素养 推理能力 (2025·江苏无锡期末)如图,在$\triangle ABD$中,$AC\perp BD于点C,E为AC$上的一点,连接$BE,DE,DE的延长线交AB于点F$.已知$DE = AB,\angle CAD = 45^{\circ}$.
(1) 求证:$DF\perp AB$;
(2) 利用图中阴影部分的面积完成证明.在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ},BC = a,AC = b,AB = c$.求证:$a^{2}+b^{2}= c^{2}$.

答案：
(1) 因为$AC⊥BD$,所以$∠ACB = ∠DCE = 90^{\circ}$.因为$∠CAD = 45^{\circ}$,所以$∠CDA = 90^{\circ}-∠CAD = 45^{\circ}$,所以$∠CDA = ∠CAD$,所以 AC = DC.在 Rt△ACB 和 Rt△DCE 中,$\left\{\begin{array}{l} AB = DE,\\ AC = DC,\end{array}\right.$所以 Rt△ACB≌Rt△DCE(HL),所以$∠ABC = ∠DEC$.因为$∠DEC + ∠CDE = 90^{\circ}$,所以$∠ABC + ∠CDE = 90^{\circ}$,所以$∠BFD = 90^{\circ}$,所以$DF⊥AB$.
(2) 因为 Rt△DCE≌Rt△ACB,所以 EC = BC = a,DC = AC = b,DE = AB = c.因为$S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}BC·EC=\frac{1}{2}a^{2}$,$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC·DC=\frac{1}{2}b^{2}$,所以$S_{阴影}=S_{\triangle BCE}+S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}$.又$S_{阴影}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}AB·DF-\frac{1}{2}AB·EF=\frac{1}{2}AB·(DF - EF)=\frac{1}{2}AB·DE=\frac{1}{2}c^{2}$,所以$\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}c^{2}$,所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.