《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

25. (8分)新素养推理能力如图,在$\triangle ABC$中,$BD\perp AC于点D$,$CE\perp AB于点E$,连接$DE$,$M$,$N分别是BC$,$DE$的中点,连接$DM$,$EM$,$MN$.
(1)求证:$MN\perp DE$;
(2)若$BC = 20$,$DE = 12$,求$\triangle MDE$的面积.

答案：
(1)因为$BD\perp AC$,所以$\angle BDC = 90^{\circ}$.因为$M$是$BC$的中点,所以$DM=\frac{1}{2}BC$.同理可得$EM=\frac{1}{2}BC$,所以$DM = EM$.因为$N$是$DE$的中点,所以$MN\perp DE$.
(2)因为$BC = 20$,所以$DM=\frac{1}{2}BC = 10$.因为$N$是$DE$的中点,$DE = 12$,所以$DN=\frac{1}{2}DE = 6$.因为$MN\perp DE$,所以$\angle MND = 90^{\circ}$,所以$MN=\sqrt{DM^{2}-DN^{2}} = 8$,所以$S_{\triangle MDE}=\frac{1}{2}DE\cdot MN = 48$.故$\triangle MDE$的面积为48.

26. (6分)(2025·江苏连云港模拟)如图,在一张长方形纸片$ABCD$中,$AB = 8$,$BC = 6$,$P为边AD$上的一点,将$\triangle ABP沿BP翻折至\triangle EBP$,$PE与CD相交于点O$,且$OE = OD$.求$AP$的长.

答案： 设$BE$交$CD$于点$F$.因为四边形$ABCD$是长方形,所以$CD = AB = 8$,$AD = BC = 6$,$\angle A=\angle D=\angle C = 90^{\circ}$.设$AP = x$,则$DP = AD - AP = 6 - x$.由折叠的性质,得$BE = AB = 8$,$PE = AP = x$,$\angle E=\angle A = 90^{\circ}$,所以$\angle E=\angle D$.在$\triangle OEF$和$\triangle ODP$中,$\begin{cases}\angle E=\angle D\\OE = OD\\\angle EOF=\angle DOP\end{cases}$所以$\triangle OEF\cong\triangle ODP(ASA)$,所以$EF = DP = 6 - x$,$OF = OP$,所以$BF = BE - EF = x + 2$,$OF + OD = OP + OE$,所以$DF = PE = x$,所以$CF = CD - DF = 8 - x$.因为$CF^{2}+BC^{2}=BF^{2}$,所以$(8 - x)^{2}+6^{2}=(x + 2)^{2}$,解得$x = 4.8$,即$AP$的长为$4.8$.