《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

8. (2025·江苏南京期末)如图,将一边长为$a$的正方形(最中间的小正方形)与四个边长为$b$的正方形(其中$b ＞ a$)拼接在一起,则四边形$ABCD$的面积是( )


A.$a^{2}-2ab + 2b^{2}$
B.$a^{2}+2ab + b^{2}$
C.$a^{2}+2ab + 2b^{2}$
D.$a^{2}+2ab$

答案：
A 解析:如图,由题意,得 EF=FG=a,AF=BG=DE=b,∠AFD=∠BGA=∠DEC=90°,所以 AG=DF=b - a.在△AFD 和△BGA 中,$\left\{\begin{array}{l} AF=BG,\\ ∠AFD=∠BGA,\\ DF=AG,\end{array}\right.$所以△AFD≌△BGA(SAS),所以 DA=AB,∠ADF=∠BAG.因为∠DAF+∠ADF=90°,所以∠DAF+∠BAG=90°,所以∠BAD=90°.同理可得∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,所以四边形 ABCD 是矩形.又因为 DA=AB,所以四边形 ABCD 是正方形.所以$S_{四边形ABCD}=DA\cdot AB = AB^{2}=AG^{2}+BG^{2}=(b - a)^{2}+b^{2}=a^{2}-2ab + 2b^{2}$.故四边形 ABCD 的面积是$a^{2}-2ab + 2b^{2}$.

9. 如图,若数字代表所在正方形的面积,则$A$所代表的正方形的面积为100.

答案： 100

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC,\angle BAC的平分线交BC于点D$,$E为AB$的中点,连接$DE$.若$BC = 12,AD = 8$,则$DE$的长为______5.

答案： 5

11. 新趋势 传统文化《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何?”其意思如下:今有一门,高比宽多$6尺8$寸,门对角线距离恰好为$1$丈.问门高、宽各是多少? 如图,设门高$AB为x$尺,则根据题意可列方程为$(x - 6.8)^{2}+x^{2}=10^{2}$.(1丈$ = 10$尺,$1尺 = 10$寸)

答案： $(x - 6.8)^{2}+x^{2}=10^{2}$

12. (2023·山东东营)一艘船由$A港沿北偏东60^{\circ}方向航行30km至B$港,然后再沿北偏西$30^{\circ}方向航行40km至C$港,则$A,C$两港之间的距离为______$km$.
50

答案： 50

13. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ},AD平分\angle CAB$,交$BC于点D$.若$AC = 6,BC = 8$,则$CD$的长为3.

答案： 3

14. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”,后人称之为“赵爽弦图”,它由$4$个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图,直角三角形的两条直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$.若$b - a = 4,c = 20$,则每个直角三角形的面积为______96.

答案： 96

15. 亮点原创 如图,网格中每个小正方形的边长均为$1,A,B,C,D,E$都在格点上,则$\angle AED-\angle ACB= $45°.

答案： 45°