《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

16. (12分)新趋势 推导探究 如图①,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O$,过点$O作EF// BC$,分别交$AB,AC于点E,F$.
(1)图中有几个等腰三角形? 猜想:$EF与BE,CF$之间有怎样的关系? 并说明理由;
(2)如图②,若$AB\ne AC$,其他条件不变,图中还有等腰三角形吗? 如果有,分别指出它们.第(1)问中$EF与BE,CF$之间的关系还成立吗? 请说明理由;
(3)如图③,若$∠ABC的平分线BO与\triangle ABC的外角平分线CO交于点O$,过点$O作OE// BC交AB于点E$,交$AC于点F$.这时图中还有等腰三角形吗? $EF与BE,CF$之间的关系又如何? 说明你的理由.

答案：
(1) 图中有5个等腰三角形:△ABC,△AEF,△OBC,△BEO,△CFO.EF = BE + CF.理由如下:因为BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,所以∠EBO = ∠OBC,∠FCO = ∠OCB.因为EF//BC,所以∠EOB = ∠OBC,∠FOC = ∠OCB,所以∠EOB = ∠EBO,∠FOC = ∠FCO,所以BE = OE,CF = OF,所以EF = OE + OF = BE + CF.
(2) 还有两个等腰三角形:△BEO和△CFO.EF与BE,CF之间的关系还成立.理由如下:因为EF//BC,所以∠OBC = ∠BOE.因为BO平分∠ABC,所以∠OBC = ∠OBE,所以∠OBE = ∠BOE,所以OE = BE.同理可证OF = CF,所以EF = OE + OF = BE + CF.
(3) 还有两个等腰三角形:△BEO和△CFO,此时EF = BE - CF.理由如下:因为OE//BC,所以∠OBC = ∠BOE.因为BO平分∠ABC,所以∠OBC = ∠OBE,所以∠OBE = ∠BOE,所以OE = BE.同理可证OF = CF,所以EF = OE - OF = BE - CF.

17. (12分)(2025·江苏镇江期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= BC= 8cm,BD⊥AC$,垂足为$D$.动点$P从点A出发沿边AB向终点B以1cm/s$的速度匀速运动,同时动点$Q从点B出发沿射线BC以2cm/s$的速度匀速运动.当点$P$停止运动时,点$Q$也随之停止.连接$AQ$,交射线$BD于点E$,连接$PE$.设点$P运动的时间为t\space s$.
(1)若点$Q在线段BC$上运动,则当$t$为何值时,$∠BPE和∠BQE$相等?
(2)试探索$S_{\triangle APE}与S_{\triangle BQE}$之间的数量关系,并说明理由.

答案：
(1) 由题意,得AP = t cm,BQ = 2t cm.因为AB = 8 cm,所以BP = AB - AP = (8 - t)cm.因为AB = BC,BD⊥AC,所以∠PBE = ∠QBE.当∠BPE = ∠BQE时,在△BEP和△BEQ中,{∠BPE = ∠BQE,∠PBE = ∠QBE,BE = BE},所以△BEP≌△BEQ(AAS),所以BP = BQ,所以8 - t = 2t,解得t = 8/3.故若点Q在线段BC上运动,则当t的值为8/3时,∠BPE和∠BQE相等.
(2) S△BQE = 2S△APE.理由如下:过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥AB于点N.因为AP = t cm,BQ = 2t cm,所以BQ = 2AP.因为∠PBE = ∠QBE,所以EM = EN.因为S△APE = 1/2AP·EN,S△BQE = 1/2BQ·EM,所以S△BQE = 2S△APE.