《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

15. (8分)在平面直角坐标系中,O是原点,将直线$y= kx-1$向上平移k个单位长度后恰好经过点$A(3,2+k)$.若直线l与直线$y= kx-1$平行,且与两坐标轴所围成的三角形的面积为$\frac {1}{2}$,求直线l的函数表达式.

答案：

由题意，得直线$y = kx - 1 + k$经过点$A(3,2 + k)$，所以$3k - 1 + k = 2 + k$，解得$k = 1$。

因为直线$l$与直线$y = x + 1$平行，所以可设直线$l$的函数表达式为$y = x + b(b \neq 1)$。设直线$l$分别与$x$轴、$y$轴交于点$B$，$C$。在$y = x + b$中，令$y = 0$，得$x + b = 0$，解得$x = - b$，所以$B( - b,0)$，所以$OB = |b|$；令$x = 0$，得$y = b$，所以$C(0,b)$，所以$OC = |b|$。因为$\angle BOC = 90^{\circ}$，所以$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}OB\cdot OC = \frac{1}{2}b^{2}$。因为$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{2}b^{2} = \frac{1}{2}$，解得$b = 1$（$b = - 1$不合题意，舍去），所以直线$l$的函数表达式为$y = x + 1$。

16. (12分)如图,在平面直角坐标系中,O是原点,长方形ABCD的边AB在x轴上,且$AB= 3,AD= 2$,经过点C的直线$y= x-2$与x轴、y轴分别交于点E,F.
(1)求长方形ABCD的顶点A,B,C,D的坐标;
(2)求证:$△OEF≌△BEC$;
(3)已知P为直线$y= x-2$上一点.若$S_{△POE}= 5$,求点P的坐标.

答案：
(1)解：设点B坐标为$(m,0)$，
∵四边形ABCD是长方形，$AB=3$，$AD=2$，
∴点A$(m-3,0)$，点C$(m,2)$，点D$(m-3,2)$。
∵点C在直线$y=x-2$上，
∴$2=m-2$，解得$m=4$。
∴A$(1,0)$，B$(4,0)$，C$(4,2)$，D$(1,2)$。
(2)证明：在直线$y=x-2$中，令$y=0$得$x=2$，
∴E$(2,0)$；令$x=0$得$y=-2$，
∴F$(0,-2)$。
∴$OE=2$，$OF=2$，$BE=OB-OE=4-2=2$，$BC=2$。
在$△OEF$和$△BEC$中，$\left\{\begin{array}{l}OE=BE=2\\∠EOF=∠EBC=90°\\OF=BC=2\end{array}\right.$，
∴$△OEF≌△BEC(SAS)$。
(3)解：设P$(t,t-2)$，$OE=2$，$S_{△POE}=\frac{1}{2}×OE×|y_P|=5$，即$\frac{1}{2}×2×|t-2|=5$，$|t-2|=5$。
解得$t=7$或$t=-3$。
∴P$(7,5)$或$(-3,-5)$。

17. (12分)新趋势 推导探究 (2025·江苏南京期末)如图,在平面直角坐标系中,O是原点,$A(8,m)为正比例函数y= \frac {3}{4}x$的图象上一点,$AB⊥x$轴,垂足为B.点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线OA方向运动,设运动的时间为t s.
(1)过点P作$PQ⊥OA$交直线AB于点Q.若$△APQ≌△ABO$,求t的值;
(2)连接BP.在点P的运动过程中,是否存在这样的t,使得$△POB$为等腰三角形?若存在,请求出所有符合题意的t的值;若不存在,请说明理由.
备用图

答案：
(1)
∵A(8,m)在y=3/4x上，
∴m=6，A(8,6)。
∵AB⊥x轴，
∴B(8,0)，OB=8，AB=6，OA=√(8²+6²)=10。
∵P从O出发，速度2单位/s，
∴OP=2t，AP=|10-2t|。
∵PQ⊥OA，△APQ≌△ABO，
∴AP=AB=6，∠PAQ=∠BAO。
当P在OA上时，AP=10-2t=6，解得t=2；
当P在OA延长线上时，AP=2t-10=6，解得t=8。
综上，t=2或8。
(2)
存在。
在Rt△ABO中，sin∠AOB=AB/OA=3/5，cos∠AOB=OB/OA=4/5。
过P作PD⊥x轴于D，则PD=OP·sin∠AOB=6t/5，OD=OP·cos∠AOB=8t/5，P(8t/5,6t/5)。
OB=8，△POB为等腰三角形分三种情况：
①OP=OB：2t=8，t=4；
②OP=PB：OP²=PB²，(2t)²=(8t/5-8)²+(6t/5)²，解得t=5；
③OB=PB：OB²=PB²，8²=(8t/5-8)²+(6t/5)²，解得t=16/5或t=0(舍)。
综上，t=4或5或16/5。