《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

25. (10分) 新素养 抽象能力 如图,在平面直角坐标系中,点$A的坐标为(24,0)$,直线$l经过原点O$,与$x轴正半轴的夹角为30^{\circ}$,$B为直线l$上一动点,$C$为平面内一点.若$\triangle ABC$为等边三角形(点$A,B,C$逆时针排列),则称$C为点B$的“伴随点”.
(1) 若$AB⊥l$,则点$B$的“伴随点”$C$的坐标为(12,0);
(2) 若$AB= 13$,求点$B$的“伴随点”$C$的坐标;
(2) 过点$A$作$AP\perp l$于点$P$,则$\angle APO=\angle APB=90^{\circ}$.因为$OA=24$,$\angle AOP=30^{\circ}$,所以$AP=\frac{1}{2}OA=12$.因为$AB=13$,所以点$B$的位置有2个.分类讨论如下:① 当点$B$在线段$OP$的延长线上时,过点$C$作$CH\perp x$轴于点$H$,则$\angle AHC=90^{\circ}$,所以$\angle AHC=\angle APB$.因为$\triangle ABC$为等边三角形,所以$AC=AB$,$\angle BAC=60^{\circ}$.因为$\angle OAP=90^{\circ}-\angle AOP=60^{\circ}$,所以$\angle OAP=\angle BAC$,所以$\angle OAP-\angle PAC=\angle BAC-\angle PAC$,所以$\angle CAH=\angle BAP$.在$\triangle ACH$和$\triangle ABP$中,$\left\{\begin{array}{l} \angle AHC=\angle APB,\\ \angle CAH=\angle BAP,\\ AC=AB,\end{array}\right.$所以$\triangle ACH\cong\triangle ABP(\text{AAS})$,所以$AH=AP=12$,$CH=BP=\sqrt{AB^{2}-AP^{2}}=5$,所以$OH=OA-AH=12$,所以$C(12,5)$;② 当点$B$在线段$OP$上时,同理可得$C(12,-5)$.综上所述,点$B$的“伴随点”$C$的坐标为$(12,5)$或$(12,-5)$.
(3) 连接$OC$,延长$AC交y轴于点D$.若$\triangle ODC$为直角三角形,求$AB$的长.
(3) 由(2)可知点$C$在直线$x=12$上运动,即点$C$在$OA$的垂直平分线上运动,所以$OC=AC$.易知$\angle COD\neq90^{\circ}$,$\angle ODC\neq90^{\circ}$,所以若$\triangle ODC$为直角三角形,则$\angle OCD=90^{\circ}$,所以$\angle OCA=180^{\circ}-\angle OCD=90^{\circ}$.设$OC=AC=x$.因为$OC^{2}+AC^{2}=OA^{2}$,$OA=24$,所以$2x^{2}=576$,所以$x=\sqrt{288}$,所以$AC=\sqrt{288}$.因为$\triangle ABC$为等边三角形,所以$AB=AC=\sqrt{288}$.

答案：
(1)$(12,0)$
(2) 过点$A$作$AP\perp l$于点$P$,则$\angle APO=\angle APB=90^{\circ}$.因为$OA=24$,$\angle AOP=30^{\circ}$,所以$AP=\frac{1}{2}OA=12$.因为$AB=13$,所以点$B$的位置有2个.分类讨论如下:① 当点$B$在线段$OP$的延长线上时,过点$C$作$CH\perp x$轴于点$H$,则$\angle AHC=90^{\circ}$,所以$\angle AHC=\angle APB$.因为$\triangle ABC$为等边三角形,所以$AC=AB$,$\angle BAC=60^{\circ}$.因为$\angle OAP=90^{\circ}-\angle AOP=60^{\circ}$,所以$\angle OAP=\angle BAC$,所以$\angle OAP-\angle PAC=\angle BAC-\angle PAC$,所以$\angle CAH=\angle BAP$.在$\triangle ACH$和$\triangle ABP$中,$\left\{\begin{array}{l} \angle AHC=\angle APB,\\ \angle CAH=\angle BAP,\\ AC=AB,\end{array}\right.$所以$\triangle ACH\cong\triangle ABP(\text{AAS})$,所以$AH=AP=12$,$CH=BP=\sqrt{AB^{2}-AP^{2}}=5$,所以$OH=OA-AH=12$,所以$C(12,5)$;② 当点$B$在线段$OP$上时,同理可得$C(12,-5)$.综上所述,点$B$的“伴随点”$C$的坐标为$(12,5)$或$(12,-5)$.
(3) 由
(2)可知点$C$在直线$x=12$上运动,即点$C$在$OA$的垂直平分线上运动,所以$OC=AC$.易知$\angle COD\neq90^{\circ}$,$\angle ODC\neq90^{\circ}$,所以若$\triangle ODC$为直角三角形,则$\angle OCD=90^{\circ}$,所以$\angle OCA=180^{\circ}-\angle OCD=90^{\circ}$.设$OC=AC=x$.因为$OC^{2}+AC^{2}=OA^{2}$,$OA=24$,所以$2x^{2}=576$,所以$x=\sqrt{288}$,所以$AC=\sqrt{288}$.因为$\triangle ABC$为等边三角形,所以$AB=AC=\sqrt{288}$.