《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

二、填空题(每题 5 分,共 25 分)
定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的“特征值”.在等腰三角形 ABC 中,若$∠A= 80^{\circ }$,则它的特征值$k= $$\frac{8}{5}$或$\frac{1}{4}$.

答案： $\frac{8}{5}$或$\frac{1}{4}$

新素养 几何直观如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 20cm,AC= 12cm$,点 P 从点 B 出发,沿 BA 以 3 cm/s 的速度向点 A 运动,同时点 Q 从点 A 出发,沿 AC 以 2 cm/s 的速度向点 C 运动,当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.当$\triangle APQ$是等腰三角形(其中$∠A$为顶角)时,运动的时间为4s.

答案： 4

如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,将$\triangle ABC$沿 DE 折叠,使得点 B 落在边 AC 上的点 F 处.若$∠CFD= 60^{\circ }$,且$\triangle AEF$为等腰三角形,则$∠A$的度数为____40°或50°.

答案： 40°或50°

如图,在$\triangle ABC$中,$AC= BC,∠ACB= 90^{\circ }$,点 M 在线段 AB 上,点 N 在线段 AB 的延长线上,满足$∠MCN= 45^{\circ }$.若$AM= 3,BN= 4$,则$BM= $1.

答案： 1

在平面直角坐标系中,O 是原点,点 A 的坐标是$(\sqrt {3},-1)$,B 是正比例函数$y= kx(x＞0)$的图象上一点.若只存在唯一的点 B,使$\triangle AOB$为等腰三角形,则k的取值范围是$k=\frac{1}{\sqrt{3}}$或$k\geq\sqrt{3}$.

答案： $k=\frac{1}{\sqrt{3}}$或$k\geq\sqrt{3}$

(16分)如图,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$AB= AD,AC= AE,∠BAC+∠DAE= 180^{\circ }$.
(1) 如图①,当点 C 在 AD 上时,连接 CE.若$∠BAC= 90^{\circ },∠ABC= 30^{\circ }$,求$∠CED$的度数;
(2) 如图②,$∠BAC≠90^{\circ }$,连接 BE,CD,F 为 BE 的中点,连接 AF.求证:$AF= \frac {1}{2}CD$.

答案：
(1)因为∠BAC+∠DAE=180°,∠BAC=90°,所以∠DAE=180° - ∠BAC=90°,所以∠DAE=∠BAC.因为AC=AE,所以∠ACE=∠AEC=$\frac{1}{2}(180° - ∠DAE)$=45°.在$\triangle DAE$和$\triangle BAC$中,$\left\{\begin{array}{l} AD=AB,\\ ∠DAE=∠BAC,\\ AE=AC,\end{array}\right.$所以$\triangle DAE\cong\triangle BAC$(SAS),所以∠ADE=∠ABC=30°,所以∠AED=90° - ∠ADE=60°,所以∠CED=∠AED - ∠AEC=15°.
(2)延长AF至点M,使MF=AF,连接ME.因为F为BE的中点,所以BF=EF.在$\triangle MFE$和$\triangle AFB$中,$\left\{\begin{array}{l} MF=AF,\\ ∠MFE=∠AFB,\\ EF=BF,\end{array}\right.$所以$\triangle MFE\cong\triangle AFB$(SAS),所以ME=AB,∠MEF=∠ABF,所以ME//AB,所以∠MEA+∠BAE=180°.因为∠BAC+∠DAE=180°,所以∠DAC+∠BAE=360° - (∠BAC+∠DAE)=180°,所以∠DAC=∠MEA.因为AB=AD,所以ME=AD.在$\triangle ACD$和$\triangle EAM$中,$\left\{\begin{array}{l} AC=AE,\\ ∠DAC=∠MEA,\\ AD=ME,\end{array}\right.$所以$\triangle ACD\cong\triangle EAM$(SAS),所以CD=AM=AF+MF=2AF,所以AF=$\frac{1}{2}CD$.