《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

27. (12 分)新趋势 推导探究(2025·江苏盐城期末)在平面直角坐标系中,$ O $ 是原点,直线 $ y = 2 x + 2 $ 分别与 $ y $ 轴、$ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,以 $ B $ 为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形 $ A B C $.
(1) 如图①,求点 $ C $ 的坐标和直线 $ A C $ 的函数表达式;
(2) 如图②,直线 $ B C $ 交 $ y $ 轴于点 $ E $,在直线 $ B C $ 上取一点 $ D $,连接 $ A D $. 若 $ A D = A C $,求证:$ B E = D E $;
(3) 如图③,直线 $ A C $ 交 $ x $ 轴于点 $ M $,$ P \left( - \frac { 5 } { 2 }, t \right) $ 是线段 $ B C $ 上一点,在线段 $ B M $ 上是否存在一点 $ N $,使直线 $ P N $ 平分 $ \triangle B C M $ 的面积? 若存在,求出点 $ N $ 的坐标;若不存在,说明理由.

答案：
(1)在y = 2x + 2中,令x = 0,得y = A(0,2),所以OA = 2;令y = 0,得2x + 2 = 0,解得x = - 1,所以B( - 1,0),所以OB = 1.如图,过点C作CQ⊥x轴于点Q,则∠BQC = ∠AOB = 90°.因为△ABC为等腰直角三角形,B为直角顶点,所以BC = AB,∠ABC = 90°,所以∠OBA + ∠QBC = 180° - ∠ABC = 90°.因为∠OBA + ∠OAB = AAS),所以QB = OA = 2,QC = OB = 1,所以OQ = OB + QB = 3,所以点C的坐标为( - 3,1).设直线AC的函数表达式为y = kx + b.把点A(0,2),C( - 3,1)分别代入y = kx + b,得{b = 2, - 3k + b = 1}，解得{k = 1/3,b = 2},所以直线AC的函数表达式为y = 1/3x + 2.
(2)如图,过点D作DF⊥x轴于点F,DG⊥y轴于点G,则GD = OF,∠BFD = ∠BQC = 90°,∠DGE = ∠BOE = 90°.因为∠ABC = 90°,所以AB⊥CD.因为AC = AD,所以BD = BC.在△BDF和△BCQ中,{∠BFD = ∠BQC,∠DBF = ∠CBQ,BD = BC},所以△BDF≌△BCQ(AAS),所以FB = QB = 2,所以OF = FB - OB = 1,所以OF = OB,所以OB = GD.在△BOE和△DGE中,{∠BEO = ∠DEG,∠BOE = ∠DGE,OB = GD},所以△BOE≌△DGE(AAS),所以BE = DE.
(3)设直线BC的函数表达式为y = mx + n.把点B( - 1,0),C( - 3,1)分别代入y = mx + n,得{ - m + n = 0, - 3m + n = 1}，解得{m = - 1/2,n = - 1/2},所以直线BC的函数表达式为y = - 1/2x - 1/2.把点P( - 5/2,t)代入y = - 1/2x - 1/2,得t = - 1/2×( - 5/2)-1/2 = 3/4,所以P( - 5/2,3/4).在y = 1/3x + 2中,令y = 0,得1/3x + 2 = 0,解得x = - 6,所以M( - 6,0),所以OM = 6,所以BM = OM - OB = 5.过点C作CH⊥BM于点H,则CH = 1,所以S△BCM = 1/2BM·CH = 5/2.过点P作PK⊥BM于点K,则PK = 3/4.设BN = a,则S△BPN = 1/2BN·PK = 3/8a.当S△BPN = 1/2S△BCM时,3/8a = 1/2×5/2,解得a = 10/3,所以BN = 10/3,所以ON = BN + OB = 13/3,所以N( - 13/3,0).故存在满足题意的点N,且点N的坐标为( - 13/3,0).